® l’énergie cinétique T (P ) = 1
2
(p
2
1 + · · · + p
2
n )
® et l’énergie totale H(X, P ) = T (P ) + V (X), somme de l’énergie cinétique et de
l’énergie potentielle.
On a ∂H
∂p i
= ∂T
∂p i
= p i et ∂H
∂x i
= ∂V
∂x i
. La i-ième équation de (1) est ˙
p i = ¨
x i = − ∂V
∂x i
,
donc (1) est équivalent à
(2)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x i = ∂H
∂p i
˙
p i = − ∂H
∂x i
La fonction H s’appelle le Hamiltonien du système (1). Puisque le Hamiltonien est
l’énergie totale d’un état du système, cette fonction prend une valeur constante le
long de toute solution de (1) (page 425).
Si X(t) est une solution de (1), la fonction H
X(t)
est constante.
On vérifie en effet que l’on a d
dt
H
X(t)
=
n
i=1
∂H
∂x i
˙
x i +
n
i=1
∂H
∂p i
˙
p i = 0, car d’après
(2), ∂H
∂x i
˙
x i + ∂H
∂p i
˙
p i = 0 pour tout i.
Ce résultat signifie que dans l’espace des phases, chaque trajectoire de (2) est incluse dans une ligne, ou en général une surface, d’équation H(X, P ) = constante,
c’est-à-dire dans une surface de niveau de la fonction H .
Pour un tel système de taille deux, on peut ainsi calculer l’équation des trajectoires.
Exemple. Soit le système différentiel
x
= 4y
3 +x
y
= −(4x
3 +y)
. Posons f (x, y) = 4y
3 +x
et g(x, y) = 4x
3 +y. On a
∂g
∂y
=
∂f
∂x
= 1, donc il existe une fonction H telle que
∂H
∂x
∂H
∂y
= [ g(x, y) f (x, y) ] (page 420). Le système s’écrit
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
= f (x, y) = ∂H
∂y
(x, y)
y
= −g(x, y) = − ∂H
∂x
(x, y)
et d’après ce qui précède, on en déduit que les trajectoires ont pour équation
H(x, y) = K , où K est constant. Calculons H(x, y).
∂H
∂y
= 4y
3 +x donc H(x, y) = y
4 +xy + u(x)
∂H
∂x
= y+u
(x) = 4x
3 +y donc u
(x) = 4x
3 et u(x) = x
4 + constante
x
y
On trouve ainsi H(x, y) = x
4 + y
4 + xy et les trajectoires du système,
représentées ci-contre, ont pour équation x
4 +y
4 +xy = constante. Les
équilibres sont donnés par f (x, y) = g(x, y) = 0 ; il en a trois : (0, 0),
(1/2,−1/2) et (−1/2,1/2). Les deux derniers sont visiblement stables.
510 – D ´
EPENDANCE PAR RAPPORT `
A LA CONDITION INITIALE
2
(p
2
1 + · · · + p
2
n )
® et l’énergie totale H(X, P ) = T (P ) + V (X), somme de l’énergie cinétique et de
l’énergie potentielle.
On a ∂H
∂p i
= ∂T
∂p i
= p i et ∂H
∂x i
= ∂V
∂x i
. La i-ième équation de (1) est ˙
p i = ¨
x i = − ∂V
∂x i
,
donc (1) est équivalent à
(2)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x i = ∂H
∂p i
˙
p i = − ∂H
∂x i
La fonction H s’appelle le Hamiltonien du système (1). Puisque le Hamiltonien est
l’énergie totale d’un état du système, cette fonction prend une valeur constante le
long de toute solution de (1) (page 425).
Si X(t) est une solution de (1), la fonction H
X(t)
est constante.
On vérifie en effet que l’on a d
dt
H
X(t)
=
n
i=1
∂H
∂x i
˙
x i +
n
i=1
∂H
∂p i
˙
p i = 0, car d’après
(2), ∂H
∂x i
˙
x i + ∂H
∂p i
˙
p i = 0 pour tout i.
Ce résultat signifie que dans l’espace des phases, chaque trajectoire de (2) est incluse dans une ligne, ou en général une surface, d’équation H(X, P ) = constante,
c’est-à-dire dans une surface de niveau de la fonction H .
Pour un tel système de taille deux, on peut ainsi calculer l’équation des trajectoires.
Exemple. Soit le système différentiel
x
= 4y
3 +x
y
= −(4x
3 +y)
. Posons f (x, y) = 4y
3 +x
et g(x, y) = 4x
3 +y. On a
∂g
∂y
=
∂f
∂x
= 1, donc il existe une fonction H telle que
∂H
∂x
∂H
∂y
= [ g(x, y) f (x, y) ] (page 420). Le système s’écrit
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
= f (x, y) = ∂H
∂y
(x, y)
y
= −g(x, y) = − ∂H
∂x
(x, y)
et d’après ce qui précède, on en déduit que les trajectoires ont pour équation
H(x, y) = K , où K est constant. Calculons H(x, y).
∂H
∂y
= 4y
3 +x donc H(x, y) = y
4 +xy + u(x)
∂H
∂x
= y+u
(x) = 4x
3 +y donc u
(x) = 4x
3 et u(x) = x
4 + constante
x
y
On trouve ainsi H(x, y) = x
4 + y
4 + xy et les trajectoires du système,
représentées ci-contre, ont pour équation x
4 +y
4 +xy = constante. Les
équilibres sont donnés par f (x, y) = g(x, y) = 0 ; il en a trois : (0, 0),
(1/2,−1/2) et (−1/2,1/2). Les deux derniers sont visiblement stables.
510 – D ´
EPENDANCE PAR RAPPORT `
A LA CONDITION INITIALE