totiquement stable pour le système initial. Pour de petites vitesses, −g( ˙
x) ˙
x a le
signe opposé de ˙
x, donc le pendule est amorti.
Supposons g(0) = 0 et g(y) 0 pour tout y . Cette fois, le système n’est plus
linéarisable autour de l’origine, car les valeurs propres du linéarisé sont ± i. Mais
prenons la fonction énergie V (x, y) = (1/2)y
2 + 1 − cos x. Puisque 1 − cos x 0,
V (x, y) est positif ou nul et n’est nul que si y = 1− cos x = 0 : dans le domaine
−π < x π, cela implique y = x = 0. On a
Grad V (X) =
∂V
∂x
∂V
∂y
= [ sin x y ], donc
Grad V (X) · F (X) = [ sin x y ]
y
− sin x − g(y)y
= −y
2 g(y)
Ce produit scalaire est toujours négatif ou nul, donc l’équilibre est stable.
® Si g(y) est n’est pas identiquement nul, l’énergie V
X(t)
diminue le long d’une
trajectoire : il n’y a pas de trajectoire fermée et donc pas de solution périodique.
®
x
y
Si l’on a g(y)>0 pour y =0, alors Grad V (X)·F (X) est strictement
négatif sauf aux points où y = 0 et cela implique que les solutions
tendent vers 0 : l’origine est un équilibre asymptotiquement stable.
Le dessin ci-contre montre une trajectoire dans le cas g(y) = y
2 .
® Si g(y) est identiquement nul, le système est celui du pendule
simple et sur chaque trajectoire, le niveau de V reste constant. Les trajectoires
proches de l’origine sont fermées (figure 2 page 463) et l’équilibre n’est pas
asymptotiquement stable.
Remarque
Souvent, on cherche une fonction de Liapounov en s’inspirant des caractéristiques
physiques du système, comme dans l’exemple ci-dessus.
Voici un autre moyen de construire des fonctions ayant les propriétés (i) et (ii) de la
définition. Considérons une matrice S symétrique définie positive (page 218). Si l’on
pose V (X) = (
t X)SX pour tout vecteur X ∈ R
n , alors on a V (0) = 0 et V (X) > 0
pour tout X = 0.
3.5 Systèmes hamiltoniens
En Mécanique, un mouvement X(t) dans un champ de force qui dérive d’un potentiel
−V est solution d’un système différentiel du second ordre, du type
(1)
¨
X = −Grad V (X)
En plus de la variable X = (x 1 , . . . , x n ), introduisons les variables p i = ˙
x i et posons
P = (p 1 ,. . .,p n ). L’espace des variables (x 1 ,x 2 ,. . .,x n ,p 1 p 2 ,. . .,p n ) = (X,P ) s’appelle
l’espace des phases ; il est de dimension 2n. Comme dans l’étude du pendule page
462, définissons
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 509
x) ˙
x a le
signe opposé de ˙
x, donc le pendule est amorti.
Supposons g(0) = 0 et g(y) 0 pour tout y . Cette fois, le système n’est plus
linéarisable autour de l’origine, car les valeurs propres du linéarisé sont ± i. Mais
prenons la fonction énergie V (x, y) = (1/2)y
2 + 1 − cos x. Puisque 1 − cos x 0,
V (x, y) est positif ou nul et n’est nul que si y = 1− cos x = 0 : dans le domaine
−π < x π, cela implique y = x = 0. On a
Grad V (X) =
∂V
∂x
∂V
∂y
= [ sin x y ], donc
Grad V (X) · F (X) = [ sin x y ]
y
− sin x − g(y)y
= −y
2 g(y)
Ce produit scalaire est toujours négatif ou nul, donc l’équilibre est stable.
® Si g(y) est n’est pas identiquement nul, l’énergie V
X(t)
diminue le long d’une
trajectoire : il n’y a pas de trajectoire fermée et donc pas de solution périodique.
®
x
y
Si l’on a g(y)>0 pour y =0, alors Grad V (X)·F (X) est strictement
négatif sauf aux points où y = 0 et cela implique que les solutions
tendent vers 0 : l’origine est un équilibre asymptotiquement stable.
Le dessin ci-contre montre une trajectoire dans le cas g(y) = y
2 .
® Si g(y) est identiquement nul, le système est celui du pendule
simple et sur chaque trajectoire, le niveau de V reste constant. Les trajectoires
proches de l’origine sont fermées (figure 2 page 463) et l’équilibre n’est pas
asymptotiquement stable.
Remarque
Souvent, on cherche une fonction de Liapounov en s’inspirant des caractéristiques
physiques du système, comme dans l’exemple ci-dessus.
Voici un autre moyen de construire des fonctions ayant les propriétés (i) et (ii) de la
définition. Considérons une matrice S symétrique définie positive (page 218). Si l’on
pose V (X) = (
t X)SX pour tout vecteur X ∈ R
n , alors on a V (0) = 0 et V (X) > 0
pour tout X = 0.
3.5 Systèmes hamiltoniens
En Mécanique, un mouvement X(t) dans un champ de force qui dérive d’un potentiel
−V est solution d’un système différentiel du second ordre, du type
(1)
¨
X = −Grad V (X)
En plus de la variable X = (x 1 , . . . , x n ), introduisons les variables p i = ˙
x i et posons
P = (p 1 ,. . .,p n ). L’espace des variables (x 1 ,x 2 ,. . .,x n ,p 1 p 2 ,. . .,p n ) = (X,P ) s’appelle
l’espace des phases ; il est de dimension 2n. Comme dans l’étude du pendule page
462, définissons
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 509