Soit X(t) une solution de point initial X 0 = X(0) assez proche de E . D’après la
règle de dérivation d’une fonction composée, on a
d
dt
V
X(t)
= Grad V
X(t)
· X
(t) = Grad V
X(t)
· F
X(t)
Si le produit scalaire Grad V (X) · F (X) est toujours négatif ou nul, le niveau V
X(t)
est décroissant le long de la trajectoire de X . On en déduit que pour t 0, X(t)
est confinée à l’intérieur de la ligne du niveau initial : l’équilibre est stable.
Montrons que si Grad V (X) · F (X) est strictement négatif, alors X(t) tend vers E .
La fonction niveau n(t) = V
X(t)
est strictement décroissante, donc quand t tend vers
+∞, n(t) a une limite m positive ou nulle. Puisque E est, d’après (i) et (ii), le seul point
de niveau nul, il faut montrer que m = 0. Raisonnons par l’absurde en supposant m > 0.
Dans ce cas, la solution resterait dans la « couronne » formée des points de niveau compris entre m et le niveau initial ; cela implique que X(t) est défini pour tout t 0. Or la
couronne étant compacte, la fonction continue dn
dt
= Grad V
X(t)
· F
X(t)
a un maximum c < 0 dans cette couronne (page 362). En intégrant, on obtiendrait n(t) n(0) + ct
pour t 0, et en prenant t assez grand, il viendrait n(t) < 0, ce qui est absurde.
Énonçons ces résultats.
Critère de stabilité de Liapounov. Supposons que V est une fonction de Liapounov
pour l’équilibre E .
® Si Grad V (X) · F (X) 0 pour tout X , l’équilibre est stable.
® Si Grad V (X) · F (X) < 0 pour tout X = E , l’équilibre est asymptotiquement stable.
Les lignes de niveau d’une fonction de Liapounov permettent de décrire le bassin de
stabilité ou de stabilité asymptotique de l’équilibre, c’est-à-dire l’ensemble des points
initiaux à partir desquels la solution va rester proche de E ou tendre vers E .
Exemple. Prenons le système différentiel du pendule sur lequel on agit par une
force g( ˙
x) ˙
x fonction de sa vitesse, où l’on suppose g dérivable. En posant y = ˙
x, le
système devient
˙
x = y
˙
y = − sin x − g(y)y
L’origine O = (0, 0) est un équilibre. La dérivée de g(y)y en y = 0 est g(0), donc le
système linéarisé en O a pour matrice A =
0 1
−1 −g(0)
. Le polynôme caractéristique
est z
2 + g(0)z + 1.
Supposons g(0) > 0 . Le polynôme caractéristique de A a ses coefficients positifs
et la somme des racines est −2g(0) < 0, donc les racines sont de partie réelle
strictement négative (page 490). L’équilibre O est asymptotiquement stable pour le
système linéarisé et, par linéarisation, on en déduit que l’origine est aussi asymp508 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS G ´
EN ´
ERAUX
règle de dérivation d’une fonction composée, on a
d
dt
V
X(t)
= Grad V
X(t)
· X
(t) = Grad V
X(t)
· F
X(t)
Si le produit scalaire Grad V (X) · F (X) est toujours négatif ou nul, le niveau V
X(t)
est décroissant le long de la trajectoire de X . On en déduit que pour t 0, X(t)
est confinée à l’intérieur de la ligne du niveau initial : l’équilibre est stable.
Montrons que si Grad V (X) · F (X) est strictement négatif, alors X(t) tend vers E .
La fonction niveau n(t) = V
X(t)
est strictement décroissante, donc quand t tend vers
+∞, n(t) a une limite m positive ou nulle. Puisque E est, d’après (i) et (ii), le seul point
de niveau nul, il faut montrer que m = 0. Raisonnons par l’absurde en supposant m > 0.
Dans ce cas, la solution resterait dans la « couronne » formée des points de niveau compris entre m et le niveau initial ; cela implique que X(t) est défini pour tout t 0. Or la
couronne étant compacte, la fonction continue dn
dt
= Grad V
X(t)
· F
X(t)
a un maximum c < 0 dans cette couronne (page 362). En intégrant, on obtiendrait n(t) n(0) + ct
pour t 0, et en prenant t assez grand, il viendrait n(t) < 0, ce qui est absurde.
Énonçons ces résultats.
Critère de stabilité de Liapounov. Supposons que V est une fonction de Liapounov
pour l’équilibre E .
® Si Grad V (X) · F (X) 0 pour tout X , l’équilibre est stable.
® Si Grad V (X) · F (X) < 0 pour tout X = E , l’équilibre est asymptotiquement stable.
Les lignes de niveau d’une fonction de Liapounov permettent de décrire le bassin de
stabilité ou de stabilité asymptotique de l’équilibre, c’est-à-dire l’ensemble des points
initiaux à partir desquels la solution va rester proche de E ou tendre vers E .
Exemple. Prenons le système différentiel du pendule sur lequel on agit par une
force g( ˙
x) ˙
x fonction de sa vitesse, où l’on suppose g dérivable. En posant y = ˙
x, le
système devient
˙
x = y
˙
y = − sin x − g(y)y
L’origine O = (0, 0) est un équilibre. La dérivée de g(y)y en y = 0 est g(0), donc le
système linéarisé en O a pour matrice A =
0 1
−1 −g(0)
. Le polynôme caractéristique
est z
2 + g(0)z + 1.
Supposons g(0) > 0 . Le polynôme caractéristique de A a ses coefficients positifs
et la somme des racines est −2g(0) < 0, donc les racines sont de partie réelle
strictement négative (page 490). L’équilibre O est asymptotiquement stable pour le
système linéarisé et, par linéarisation, on en déduit que l’origine est aussi asymp508 – SYST `
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