La figure ci-dessous montre le champ de vecteurs et quelques trajectoires du système.
3.4 Fonction de Liapounov
Soit E un point d’équilibre pour le système différentiel X
= F (X).
Définition
Une fonction de Liapounov pour l’équilibre E est une fonction V à valeurs réelles, définie au voisinage de E , à dérivées partielles continues et satisfaisant les conditions
suivantes :
i) V (E) = 0,
ii) V (X) > 0 pour tout X = E ,
iii) le produit scalaire Grad V (X) · F (X) garde un signe constant.
Les conditions (i) et (ii) signifient que V (X) présente un minimum au point E . Au
voisinage de ce point, les lignes de niveau de V « encerclent » E et l’on sait que le
vecteur gradient de V est orthogonal à ces lignes de niveau et dirigé vers l’extérieur :
® si Grad V (X) · F (X) est toujours négatif, alors F (X) pointe vers l’intérieur des
lignes de niveau de V : le long d’une trajectoire, le niveau de V diminue (figure 1) ;
® si au contraire Grad V (X) · F (X) est positif, F (X) pointe vers l’extérieur des lignes
de niveau et quand on parcourt une trajectoire, le niveau de V augmente (figure 2).
X
Grad V (X)
F (X)
E
Figure 1
X
F (X)
Grad V (X)
E
Figure 2
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 507