Étude au voisinage d'un équilibre Nous allons linéariser le système en chacun des points d’équilibre. Pour former la matrice jacobienne J(x, y) en un point
quelconque, calculons les dérivées partielles de F :
∂
∂x
(−x+2y−x
2 ) = −1−2x
, ∂
∂y
(−x+2y−x
2 ) = 2
∂
∂x
(x+x
2
−2xy) = 1+2x−2y , ∂
∂y
(x+x
2
−2xy) = −2x
Au point O . La matrice jacobienne de F en (0, 0) est J =
−1 2
1 0
. Son polynôme
caractéristique est (−1−z)(−z)−2 = (z−1)(z+2), donc les valeurs propres sont 1
et −2. Les vecteurs propres sont respectivement V 1 =
1
1
et V 2 =
2
−1
.
x
y
V 1 e
t
V 2 e
−2t
Pour avoir l’allure des trajectoires du système linéaire U
= JU , il suffit de se
reporter à la figure 2 page 491.
Il y a deux trajectoires rectilignes dans la direction V 1 ,
deux dans la direction V 2 et les autres sont de type
« hyperbolique », avec pour asymptotes les directions propres
V 1 et V 2 . En linéarisant, on sait que, pour le système (1),
l’allure des trajectoires autour de l’origine est la même.
Au point A .
x
y
1
1
V 2 e
−4t
V 1 e
−t
A
Au point A = (1, 1), la matrice jacobienne est
J =
−3 2
1 −2
. Le polynôme caractéristique est
(−3−z)(−2−z)−2 = (z+1)(z+4) ,
et les valeurs propres −1 et −4 ont pour vecteurs propres
à nouveau W 1 = V 1 et W 2 = V 2 .
Mis à part les deux trajectoires rectilignes dans la direction
V 2 , les trajectoires du système linéaire U
= JU sont tangentes à la direction propre
de plus petite valeur propre (en valeur absolue), c’est-à-dire à W 1 (figure 1 page
491). Par linéarisation, on en déduit qu’au voisinage de A, les trajectoires de (1)
ont la même allure. Le point A est un équilibre asymptotiquement stable.
Au point B . La matrice jacobienne en B = (−1, 0) est J =
1 2
−1 2
. Le polynôme
caractéristique est (1−z)(2−z) + 2 et les valeurs propres sont λ = (1/2)(3+ i
√
7)
et μ = (1/2)(3− i
√
7).
B
x
y
−1
Les trajectoires du système U
= JU sont des spirales qui s’écartent de l’équilibre,
car la partie réelle des valeurs propres est strictement positive
(figure 3 page 491). Il s’ensuit qu’au voisinage de B, les trajectoires de (1) sont également en forme de spirales qui s’écartent
de B. Le point B n’est donc pas un équilibre stable. Pour trouver le sens de parcours, remarquons qu’en un point de l’axe
des x, on a y = 0, donc y
= x(1+x) < 0 pour −1 < x < 0 :
les spirales sont donc parcourues dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
506 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS G ´
EN ´
ERAUX
quelconque, calculons les dérivées partielles de F :
∂
∂x
(−x+2y−x
2 ) = −1−2x
, ∂
∂y
(−x+2y−x
2 ) = 2
∂
∂x
(x+x
2
−2xy) = 1+2x−2y , ∂
∂y
(x+x
2
−2xy) = −2x
Au point O . La matrice jacobienne de F en (0, 0) est J =
−1 2
1 0
. Son polynôme
caractéristique est (−1−z)(−z)−2 = (z−1)(z+2), donc les valeurs propres sont 1
et −2. Les vecteurs propres sont respectivement V 1 =
1
1
et V 2 =
2
−1
.
x
y
V 1 e
t
V 2 e
−2t
Pour avoir l’allure des trajectoires du système linéaire U
= JU , il suffit de se
reporter à la figure 2 page 491.
Il y a deux trajectoires rectilignes dans la direction V 1 ,
deux dans la direction V 2 et les autres sont de type
« hyperbolique », avec pour asymptotes les directions propres
V 1 et V 2 . En linéarisant, on sait que, pour le système (1),
l’allure des trajectoires autour de l’origine est la même.
Au point A .
x
y
1
1
V 2 e
−4t
V 1 e
−t
A
Au point A = (1, 1), la matrice jacobienne est
J =
−3 2
1 −2
. Le polynôme caractéristique est
(−3−z)(−2−z)−2 = (z+1)(z+4) ,
et les valeurs propres −1 et −4 ont pour vecteurs propres
à nouveau W 1 = V 1 et W 2 = V 2 .
Mis à part les deux trajectoires rectilignes dans la direction
V 2 , les trajectoires du système linéaire U
= JU sont tangentes à la direction propre
de plus petite valeur propre (en valeur absolue), c’est-à-dire à W 1 (figure 1 page
491). Par linéarisation, on en déduit qu’au voisinage de A, les trajectoires de (1)
ont la même allure. Le point A est un équilibre asymptotiquement stable.
Au point B . La matrice jacobienne en B = (−1, 0) est J =
1 2
−1 2
. Le polynôme
caractéristique est (1−z)(2−z) + 2 et les valeurs propres sont λ = (1/2)(3+ i
√
7)
et μ = (1/2)(3− i
√
7).
B
x
y
−1
Les trajectoires du système U
= JU sont des spirales qui s’écartent de l’équilibre,
car la partie réelle des valeurs propres est strictement positive
(figure 3 page 491). Il s’ensuit qu’au voisinage de B, les trajectoires de (1) sont également en forme de spirales qui s’écartent
de B. Le point B n’est donc pas un équilibre stable. Pour trouver le sens de parcours, remarquons qu’en un point de l’axe
des x, on a y = 0, donc y
= x(1+x) < 0 pour −1 < x < 0 :
les spirales sont donc parcourues dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
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EMES DIFF ´
ERENTIELS G ´
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