b) Les valeurs propres de J(E) sont toutes de parties réelles strictement négatives, ou bien
toutes de parties réelles strictement positives.
c) Il n’y a entre les valeurs propres λ 1 , . . . , λ n de J(E) aucune relation de la forme
λ j =
n
i=1 n i λ i , avec des entiers n i positifs ou nuls de somme au moins égale à 2.
La condition (c) est dite « de non résonance ». Si l’on y remplace les λ i par leur exponentielle e
λ i , on obtient la condition de non résonance, rencontrée page 391, qui permet
de linéariser une transformation ; les deux problèmes sont intimement liés.
Si le système (1) est linéarisable autour de E , cet équilibre a évidemment les mêmes
propriétés de stabilité que l’équilibre O du système linéaire (L). Pour étudier la
stabilité d’un équilibre E , on peut donc linéariser le système en ce point.
Supposons le système (1) linéarisable autour de E . Alors
® l’équilibre E est stable si et seulement si l’origine est stable pour le système linéarisé ;
® l’équilibre E est asymptotiquement stable si et seulement si l’origine est asymptotiquement
stable pour le système linéarisé.
Exemple. Étudions le système différentiel (1)
x
= −x + 2y − x
2
y
= x(1 + x − 2y)
Recherche des équilibres du système. Ce sont les solutions du système d’équations
−x+2y−x
2 = 0
x(1+x−2y) = 0
. On trouve x = y = 0 et si x = 0, il vient 1+x = 2y, donc
1−x
2 = 0, d’où x = 1, y = 1 ou bien x = −1, y = 0. Il y a trois équilibres : O = (0, 0),
A = (1, 1) et B = (−1, 0).
Des trajectoires particulières. En tout point (x, y), le champ de vecteurs est
F (x, y) =
−x+2y−x
2
x(1+x−2y)
. En un point de la droite d’équation y = x, le champ
F (x, x) =
x−x
2
x(1−x)
est dans la direction de cette droite, donc la droite y = x est
réunion de trajectoires. En restreignant le système à cette droite, on obtient l’équation
différentielle x
= dx
dt
= x−x
2 .
Nous avons déjà étudié l’équation x
= x−x
2 dans l’exemple page 448 : sur une
droite représentant l’espace des x, il y a cinq trajectoires : les
deux équilibres x = 0 et x = 1, l’intervalle ]−∞, 0[ parcouru en
décroissant (car x
< 0 pour x < 0), l’intervalle ]0, 1[ parcouru
en croissant (car x
> 0 pour 0 < x < 1) et l’intervalle ]1, +∞[
parcouru en décroissant (car x
< 0 pour x > 1).
x
y
1
1
La figure ci-contre montre les trajectoires correspondantes pour
le système (1). On voit déjà que l’origine n’est pas un équilibre
stable.
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 505
toutes de parties réelles strictement positives.
c) Il n’y a entre les valeurs propres λ 1 , . . . , λ n de J(E) aucune relation de la forme
λ j =
n
i=1 n i λ i , avec des entiers n i positifs ou nuls de somme au moins égale à 2.
La condition (c) est dite « de non résonance ». Si l’on y remplace les λ i par leur exponentielle e
λ i , on obtient la condition de non résonance, rencontrée page 391, qui permet
de linéariser une transformation ; les deux problèmes sont intimement liés.
Si le système (1) est linéarisable autour de E , cet équilibre a évidemment les mêmes
propriétés de stabilité que l’équilibre O du système linéaire (L). Pour étudier la
stabilité d’un équilibre E , on peut donc linéariser le système en ce point.
Supposons le système (1) linéarisable autour de E . Alors
® l’équilibre E est stable si et seulement si l’origine est stable pour le système linéarisé ;
® l’équilibre E est asymptotiquement stable si et seulement si l’origine est asymptotiquement
stable pour le système linéarisé.
Exemple. Étudions le système différentiel (1)
x
= −x + 2y − x
2
y
= x(1 + x − 2y)
Recherche des équilibres du système. Ce sont les solutions du système d’équations
−x+2y−x
2 = 0
x(1+x−2y) = 0
. On trouve x = y = 0 et si x = 0, il vient 1+x = 2y, donc
1−x
2 = 0, d’où x = 1, y = 1 ou bien x = −1, y = 0. Il y a trois équilibres : O = (0, 0),
A = (1, 1) et B = (−1, 0).
Des trajectoires particulières. En tout point (x, y), le champ de vecteurs est
F (x, y) =
−x+2y−x
2
x(1+x−2y)
. En un point de la droite d’équation y = x, le champ
F (x, x) =
x−x
2
x(1−x)
est dans la direction de cette droite, donc la droite y = x est
réunion de trajectoires. En restreignant le système à cette droite, on obtient l’équation
différentielle x
= dx
dt
= x−x
2 .
Nous avons déjà étudié l’équation x
= x−x
2 dans l’exemple page 448 : sur une
droite représentant l’espace des x, il y a cinq trajectoires : les
deux équilibres x = 0 et x = 1, l’intervalle ]−∞, 0[ parcouru en
décroissant (car x
< 0 pour x < 0), l’intervalle ]0, 1[ parcouru
en croissant (car x
> 0 pour 0 < x < 1) et l’intervalle ]1, +∞[
parcouru en décroissant (car x
< 0 pour x > 1).
x
y
1
1
La figure ci-contre montre les trajectoires correspondantes pour
le système (1). On voit déjà que l’origine n’est pas un équilibre
stable.
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 505