n’a pas de solution en y lorsque x est hors de [x 1 , x 2 ], en a une seule y = a/b lorsque
x = x 1 ou x = x 2 et que si x 1 < x < x 2 , alors (e) a deux solutions y − (x) < a/b < y + (x).
De plus, quand x tend vers x 1 ou x 2 , y − (x) et y + (x) tendent vers a/b. Cela montre
que les courbes définies par (1) sont fermées, comme sur la figure 1 ci-dessous.
Ainsi, dans le domaine x > 0, y > 0, les trajectoires du systèmes sont fermées : les
effectifs oscillent autour de l’équilibre E (figure 2).
x 1 x
x 2
y − (x)
y + (x)
c/d
a/b
0
x
y
0
E
figure 1
x
y
0
E
figure 2
3.2 Stabilité d'un équilibre
Dans l’étude des systèmes différentiels linéaires, nous avons rencontré des équilibres
stables et des équilibres instables.
Définition
Un point d’équilibre E est stable si pour tout ε > 0, la distance de X(t) à E reste
inférieure à ε quel que soit t 0, pour toute solution X(t) de condition initiale
X 0 = X(0) assez proche de E . Si de plus chaque X(t) tend vers E quand t tend
vers +∞, on dit que E est un équilibre asymptotiquement stable.
Dans l’exemple proies-prédateurs du précédent paragraphe, l’équilibre E est stable,
mais pas asymptotiquement stable.
Cas d'un système linéaire. Pour un système linéaire X
= AX , rappelons (page
490) que l’origine est un équilibre
® stable si A est diagonalisable avec toutes ses valeurs propres de partie réelle
négative ou nulle,
® asymptotiquement stable si toutes les valeurs propres de A ont leur partie réelle
strictement négative,
® instable si l’une au moins des valeurs propres de A est de partie réelle strictement
positive.
3.3 Linéarisation autour d'un équilibre
Supposons que E est un point d’équilibre du système différentiel
(1)
X
= F (X)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 503
x = x 1 ou x = x 2 et que si x 1 < x < x 2 , alors (e) a deux solutions y − (x) < a/b < y + (x).
De plus, quand x tend vers x 1 ou x 2 , y − (x) et y + (x) tendent vers a/b. Cela montre
que les courbes définies par (1) sont fermées, comme sur la figure 1 ci-dessous.
Ainsi, dans le domaine x > 0, y > 0, les trajectoires du systèmes sont fermées : les
effectifs oscillent autour de l’équilibre E (figure 2).
x 1 x
x 2
y − (x)
y + (x)
c/d
a/b
0
x
y
0
E
figure 1
x
y
0
E
figure 2
3.2 Stabilité d'un équilibre
Dans l’étude des systèmes différentiels linéaires, nous avons rencontré des équilibres
stables et des équilibres instables.
Définition
Un point d’équilibre E est stable si pour tout ε > 0, la distance de X(t) à E reste
inférieure à ε quel que soit t 0, pour toute solution X(t) de condition initiale
X 0 = X(0) assez proche de E . Si de plus chaque X(t) tend vers E quand t tend
vers +∞, on dit que E est un équilibre asymptotiquement stable.
Dans l’exemple proies-prédateurs du précédent paragraphe, l’équilibre E est stable,
mais pas asymptotiquement stable.
Cas d'un système linéaire. Pour un système linéaire X
= AX , rappelons (page
490) que l’origine est un équilibre
® stable si A est diagonalisable avec toutes ses valeurs propres de partie réelle
négative ou nulle,
® asymptotiquement stable si toutes les valeurs propres de A ont leur partie réelle
strictement négative,
® instable si l’une au moins des valeurs propres de A est de partie réelle strictement
positive.
3.3 Linéarisation autour d'un équilibre
Supposons que E est un point d’équilibre du système différentiel
(1)
X
= F (X)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 503