des abscisses positives parcouru dans le sens croissant et X(t) tend vers l’infini
quand t tend vers +∞.
Sens de variation des solutions
x
y
E
c/d
a/b
x
<
0
y
> 0
0
x
<
y
> 0
0
x
<
y
> 0
0
x
<
y
> 0
0
(I)
(IV )
(II)
(III)
En chaque point (x, y) du domaine, l’orientation du vecteur F (x, y) est fixée par le signe de ses composantes
x(a−by), y(−c + dx)
. Si par exemple on a x > c/d et
y > a/b, alors a−by < 0 et −c + dx > 0, donc le champ
est dirigé « vers le haut à gauche » : en ce point, on a
x
(t) < 0 et y
(t) > 0. Ainsi on obtient la représentation
ci-contre qui permet de visualiser les variations de x(t) et
de y(t) dans chacune des régions (I) à (IV ).
Prenons une solution X(t) dont la condition initiale est un point X 0 situé dans la
région (I). Sa trajectoire T ne peut pas couper l’axe des ordonnées positives qui est
lui-même une trajectoire, donc la courbe X(t) pénètre dans la région (II). Dès lors,
T ne peut pas couper l’axe des abscisses positives qui est une trajectoire, donc X(t)
pénètre dans la région (III). Ensuite, X(t) pourrait éventuellement rester dans cette
région (avec une asymptote horizontale située sous l’ordonnée a/b), mais nous allons
voir que ce n’est pas le cas.
Équation des trajectoires. Cherchons y comme fonction de x. Puisqu’on a
y
(x) =
˙
y
˙
x
=
y(−c + dx)
x(a − by)
il vient
a − by
y
y
(x) =
−c + dx
x
qui est une équation à variables séparées. En intégrant chaque membre, on trouve
a lny−by+c lnx−dx=k, où k est une constante, et en prenant l’exponentielle, on obtient
(1)
(y
a e
−by ) (x
c e
−dx ) = K , avec K > 0.
Les trajectoires sont les courbes d’équation (1), pour les différentes valeurs de K .
f (y
r
y
)
g(x
x
)
x 1
x 2
M y
M x
c/d
a/b
Les graphes des fonctions f (y) = y
a e
−by et g(x) = x
c e
−dx sont représentés ci-contre.
On a f
(y) = y
a−1 e
−by (a−by), le maximum
de f (y) est atteint en y = a/b et vaut M y =
(a/b)
a e
−a ; de même, le maximum de g(x)
est obtenu en x = c/d et vaut M x = (c/d)
c e
−c .
Si K > M x M y , l’équation (1) n’a donc pas
de solution. Si K = M x M y , la seule solution
est l’équilibre (c/d, a/b).
Supposons maintenant K = rM y , où 0 < r < M x . L’équation g(x) = r a deux solutions
x 1 et x 2 , avec 0 < x 1 < c/d < x 2 , et l’on a r/g(x) > 1 si x est en dehors du segment
[x 1 , x 2 ]. On en déduit que, pour x fixé, l’équation
(e)
f (y) = r
g(x)
M y
502 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS G ´
EN ´
ERAUX
quand t tend vers +∞.
Sens de variation des solutions
x
y
E
c/d
a/b
x
<
0
y
> 0
0
x
<
y
> 0
0
x
<
y
> 0
0
x
<
y
> 0
0
(I)
(IV )
(II)
(III)
En chaque point (x, y) du domaine, l’orientation du vecteur F (x, y) est fixée par le signe de ses composantes
x(a−by), y(−c + dx)
. Si par exemple on a x > c/d et
y > a/b, alors a−by < 0 et −c + dx > 0, donc le champ
est dirigé « vers le haut à gauche » : en ce point, on a
x
(t) < 0 et y
(t) > 0. Ainsi on obtient la représentation
ci-contre qui permet de visualiser les variations de x(t) et
de y(t) dans chacune des régions (I) à (IV ).
Prenons une solution X(t) dont la condition initiale est un point X 0 situé dans la
région (I). Sa trajectoire T ne peut pas couper l’axe des ordonnées positives qui est
lui-même une trajectoire, donc la courbe X(t) pénètre dans la région (II). Dès lors,
T ne peut pas couper l’axe des abscisses positives qui est une trajectoire, donc X(t)
pénètre dans la région (III). Ensuite, X(t) pourrait éventuellement rester dans cette
région (avec une asymptote horizontale située sous l’ordonnée a/b), mais nous allons
voir que ce n’est pas le cas.
Équation des trajectoires. Cherchons y comme fonction de x. Puisqu’on a
y
(x) =
˙
y
˙
x
=
y(−c + dx)
x(a − by)
il vient
a − by
y
y
(x) =
−c + dx
x
qui est une équation à variables séparées. En intégrant chaque membre, on trouve
a lny−by+c lnx−dx=k, où k est une constante, et en prenant l’exponentielle, on obtient
(1)
(y
a e
−by ) (x
c e
−dx ) = K , avec K > 0.
Les trajectoires sont les courbes d’équation (1), pour les différentes valeurs de K .
f (y
r
y
)
g(x
x
)
x 1
x 2
M y
M x
c/d
a/b
Les graphes des fonctions f (y) = y
a e
−by et g(x) = x
c e
−dx sont représentés ci-contre.
On a f
(y) = y
a−1 e
−by (a−by), le maximum
de f (y) est atteint en y = a/b et vaut M y =
(a/b)
a e
−a ; de même, le maximum de g(x)
est obtenu en x = c/d et vaut M x = (c/d)
c e
−c .
Si K > M x M y , l’équation (1) n’a donc pas
de solution. Si K = M x M y , la seule solution
est l’équilibre (c/d, a/b).
Supposons maintenant K = rM y , où 0 < r < M x . L’équation g(x) = r a deux solutions
x 1 et x 2 , avec 0 < x 1 < c/d < x 2 , et l’on a r/g(x) > 1 si x est en dehors du segment
[x 1 , x 2 ]. On en déduit que, pour x fixé, l’équation
(e)
f (y) = r
g(x)
M y
502 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS G ´
EN ´
ERAUX