3.1 Équilibres et trajectoires
Définition
Un point E du domaine est un équilibre du système différentiel si la fonction
constante X(t) = E est solution ; sa trajectoire est réduite au point E .
Pour qu’un point E soit un équilibre, il faut et il suffit que la fonction X(t) = E
vérifie X
(t) = F
X(t)
. Puisque X
(t) = 0, cette condition s’écrit 0 = F (E).
Un équilibre est un point E tel que F (E) = 0.
Propriétés des trajectoires
® Deux trajectoires différentes ne se coupent pas.
® Les bouts d’une trajectoire sont en un point d’équilibre ou bien au bord du domaine.
® Si un bout de trajectoire est un équilibre E , les solutions sur cette trajectoire tendent
vers E quand t tend vers +∞ (ou quand t tend vers −∞).
Exemple : étude d'un système proies-prédateurs
Reprenons le système différentiel introduit page 477 :
˙
x = ax−bxy
˙
y = −cy + dxy
, où les constantes a, b, c, d sont positives.
Puisque x et y sont des effectifs de population, le domaine est le quart de plan
formé des couples (x, y) tels que x 0 et y 0.
Le champ de vecteurs dans R
2 associé au système est F (x, y) =
ax−bxy
−cy + dxy
.
Recherche des équilibres. Les équilibres sont les solutions du système d’équations
ax−bxy
= 0
−cy + dxy = 0
⇐⇒
x(a−by) = 0
y(−c + dx) = 0
Si x ou y est nul, alors x=y =0 : il y a donc deux équilibres O=(0,0) et E =(c/d,a/b).
Si les effectifs sont initialement x 0 =c/d et y 0 =a/b, ils restent à ces valeurs d’équilibre.
Des solutions particulières
® En un point où x = 0, le vecteur du champ est F (0, y) = (0, −cy) ; ces vecteurs
étant verticaux, il y a des trajectoires portées par l’axe des ordonnées. Effectivement, pour x = 0, la seconde équation du système est y
= −cy, elle ne contient
pas x et a pour solutions y(t) = y 0 e
−ct . Ainsi X(t) =
0, y 0 e
−ct
est une solution
du système. La trajectoire est l’axe des ordonnées positives parcouru dans le sens
décroissant et X(t) tend vers l’équilibre O quand t tend vers +∞.
® De même, en tout point (x, 0), le champ F (x, 0) = (ax, 0) est horizontal, donc il y
a des trajectoires portées par l’axe des abscisses. Pour y = 0, la première équation
est x
= ax, donc X(t) = (x 0 e
at , 0) est solution du système. La trajectoire est l’axe
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 501
Définition
Un point E du domaine est un équilibre du système différentiel si la fonction
constante X(t) = E est solution ; sa trajectoire est réduite au point E .
Pour qu’un point E soit un équilibre, il faut et il suffit que la fonction X(t) = E
vérifie X
(t) = F
X(t)
. Puisque X
(t) = 0, cette condition s’écrit 0 = F (E).
Un équilibre est un point E tel que F (E) = 0.
Propriétés des trajectoires
® Deux trajectoires différentes ne se coupent pas.
® Les bouts d’une trajectoire sont en un point d’équilibre ou bien au bord du domaine.
® Si un bout de trajectoire est un équilibre E , les solutions sur cette trajectoire tendent
vers E quand t tend vers +∞ (ou quand t tend vers −∞).
Exemple : étude d'un système proies-prédateurs
Reprenons le système différentiel introduit page 477 :
˙
x = ax−bxy
˙
y = −cy + dxy
, où les constantes a, b, c, d sont positives.
Puisque x et y sont des effectifs de population, le domaine est le quart de plan
formé des couples (x, y) tels que x 0 et y 0.
Le champ de vecteurs dans R
2 associé au système est F (x, y) =
ax−bxy
−cy + dxy
.
Recherche des équilibres. Les équilibres sont les solutions du système d’équations
ax−bxy
= 0
−cy + dxy = 0
⇐⇒
x(a−by) = 0
y(−c + dx) = 0
Si x ou y est nul, alors x=y =0 : il y a donc deux équilibres O=(0,0) et E =(c/d,a/b).
Si les effectifs sont initialement x 0 =c/d et y 0 =a/b, ils restent à ces valeurs d’équilibre.
Des solutions particulières
® En un point où x = 0, le vecteur du champ est F (0, y) = (0, −cy) ; ces vecteurs
étant verticaux, il y a des trajectoires portées par l’axe des ordonnées. Effectivement, pour x = 0, la seconde équation du système est y
= −cy, elle ne contient
pas x et a pour solutions y(t) = y 0 e
−ct . Ainsi X(t) =
0, y 0 e
−ct
est une solution
du système. La trajectoire est l’axe des ordonnées positives parcouru dans le sens
décroissant et X(t) tend vers l’équilibre O quand t tend vers +∞.
® De même, en tout point (x, 0), le champ F (x, 0) = (ax, 0) est horizontal, donc il y
a des trajectoires portées par l’axe des abscisses. Pour y = 0, la première équation
est x
= ax, donc X(t) = (x 0 e
at , 0) est solution du système. La trajectoire est l’axe
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 501