Définition
Un système différentiel (autonome) s’écrit X
= F (X), où F (X) =
⎡
⎢
⎢
⎣
f 1 (X)
f 2 (X)
. . .
f n (X)
⎤
⎥
⎥
⎦ . Chacune des fonctions f 1 , . . . , f n prend des valeurs réelles et possède des dérivées
partielles
∂f i
∂x j
continues. Le domaine, ou l’espace des états du système différentiel,
est le domaine de définition commun aux fonctions f 1 , . . . , f n .
Une solution est une fonction X(t) =
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
. . .
x n (t)
⎤
⎥
⎥
⎦ telle que X
(t) = F
X(t)
pour tout
t. Quand t varie, X(t) décrit une courbe dans l’espace R
n des états. L’ensemble des
points d’une courbe solution est une trajectoire.
Exemple. Une équation différentielle du second ordre de la forme ¨
x = f (x, ˙
x)
peut se transformer en un système différentiel. En posant y = ˙
x, il vient en effet
˙
x = y
˙
y = f (x, y)
. L’ensemble des états (x, y) du système s’appelle dans ce cas l’espace
des phases de l’équation (voir page 462).
Propriétés des solutions
1) Si X 0 est un point du domaine et t 0 un instant quelconque, il y a une unique solution X(t)
ayant pour condition initiale X(t 0 )=X 0 . La trajectoire associée s’appelle la trajectoire de X 0 .
2) Si X(t) est une solution, alors pour tout nombre a, la fonction X(t + a) est solution.
Nous avons démontré ces résultats pour les systèmes différentiels linéaires et pour les
équations différentielles numériques autonomes ; ils sont encore vrais pour les systèmes
différentiels vérifiant la définition ci-dessus. La propriété (2) est spécifique des systèmes
autonomes : si X(t) est solution de X
= F (X) et si l’on pose Y (t) = X(t + a), alors
Y
(t) = X
(t + a) = F
X(t + a)
= F
Y (t)
et Y (t) est encore solution, de même trajectoire que X(t). Pour étudier une solution, on peut donc supposer que sa condition
initiale est X(0) = X 0 .
Champ de vecteur associé au système. La fonction X → F (X), définie sur
le domaine du système différentiel, prend ses valeurs dans R
n : il s’agit d’un champ
de vecteurs (chapitre 14).
® Le champ de vecteurs F (X) s’appelle le champ associé au système.
® Une trajectoire du système différentiel est tangente en chacun de ses points au
vecteur du champ : une trajectoire est donc une ligne de champ.
500 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS G ´
EN ´
ERAUX
Un système différentiel (autonome) s’écrit X
= F (X), où F (X) =
⎡
⎢
⎢
⎣
f 1 (X)
f 2 (X)
. . .
f n (X)
⎤
⎥
⎥
⎦ . Chacune des fonctions f 1 , . . . , f n prend des valeurs réelles et possède des dérivées
partielles
∂f i
∂x j
continues. Le domaine, ou l’espace des états du système différentiel,
est le domaine de définition commun aux fonctions f 1 , . . . , f n .
Une solution est une fonction X(t) =
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
. . .
x n (t)
⎤
⎥
⎥
⎦ telle que X
(t) = F
X(t)
pour tout
t. Quand t varie, X(t) décrit une courbe dans l’espace R
n des états. L’ensemble des
points d’une courbe solution est une trajectoire.
Exemple. Une équation différentielle du second ordre de la forme ¨
x = f (x, ˙
x)
peut se transformer en un système différentiel. En posant y = ˙
x, il vient en effet
˙
x = y
˙
y = f (x, y)
. L’ensemble des états (x, y) du système s’appelle dans ce cas l’espace
des phases de l’équation (voir page 462).
Propriétés des solutions
1) Si X 0 est un point du domaine et t 0 un instant quelconque, il y a une unique solution X(t)
ayant pour condition initiale X(t 0 )=X 0 . La trajectoire associée s’appelle la trajectoire de X 0 .
2) Si X(t) est une solution, alors pour tout nombre a, la fonction X(t + a) est solution.
Nous avons démontré ces résultats pour les systèmes différentiels linéaires et pour les
équations différentielles numériques autonomes ; ils sont encore vrais pour les systèmes
différentiels vérifiant la définition ci-dessus. La propriété (2) est spécifique des systèmes
autonomes : si X(t) est solution de X
= F (X) et si l’on pose Y (t) = X(t + a), alors
Y
(t) = X
(t + a) = F
X(t + a)
= F
Y (t)
et Y (t) est encore solution, de même trajectoire que X(t). Pour étudier une solution, on peut donc supposer que sa condition
initiale est X(0) = X 0 .
Champ de vecteur associé au système. La fonction X → F (X), définie sur
le domaine du système différentiel, prend ses valeurs dans R
n : il s’agit d’un champ
de vecteurs (chapitre 14).
® Le champ de vecteurs F (X) s’appelle le champ associé au système.
® Une trajectoire du système différentiel est tangente en chacun de ses points au
vecteur du champ : une trajectoire est donc une ligne de champ.
500 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS G ´
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ERAUX