de la forme
˙
x = 2x − 3y + au
˙
y = 2x − y
où u est l’écart à la température moyenne et a une constante positive. Peut-on réaliser un bouclage de ce système de manière à stabiliser les populations quels que
soient les effectifs initiaux ?
Le système contrôlé est ˙
X = AX +
a
0
u et un bouclage s’écrit u = −kx, d’où le
système bouclé
(b)
˙
X = AX +
−akx
0
=
(2−ak)x −3
2
−1
X
En posant r = ak, le polynôme caractéristique de la matrice de (b) est
P =
2−r−z −3
2
−1−z
= z
2 + (r−1)z + r + 4
Pour que l’équilibre (0, 0) soit stable, il faut et il suffit que les coefficients r−1 et
r+4 soient positifs ou nuls, c’est-à-dire que l’on ait r 1, ou encore k 1/a.
®
x
y
1
1
Pour k = 1/a, les solutions du système bouclé sont
x(t)
y(t)
= 3c 1
sin
√
5t
−
√
5 cos
√
5t + sin
√
5t
+ 3c 2
cos
√
5t
√
5 sin
√
5t + cos
√
5t
et les effectifs x m + x et y m + y restent bornés quand t tend
vers +∞. Bien que les solutions ne tendent pas vers l’origine,
l’équilibre est stable.
®
x
y
1
1
Pour k > 1/a, les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative, donc les solutions tendent vers (0,0) : le système
est stabilisé et les effectifs tendent vers leurs valeurs d’équilibre
x m et y m d’autant plus vite que k est plus grand.
3. Systèmes différentiels généraux
On rencontre le plus souvent des systèmes différentiels où X
ne dépend pas
linéairement de X .
Nous avons montré page 478 que l’on peut ramener l’étude d’un système différentiel
quelconque à celle d’un système autonome, c’est-à-dire un système où la loi différentielle ne dépend pas du temps, comme par exemple
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
. Dans la suite,
nous ne considérerons donc que des systèmes autonomes.
On introduit le vecteur d’état X =
⎡
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x n
⎤
⎥
⎦ du système ; il décrit un domaine de R
n .
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 499
˙
x = 2x − 3y + au
˙
y = 2x − y
où u est l’écart à la température moyenne et a une constante positive. Peut-on réaliser un bouclage de ce système de manière à stabiliser les populations quels que
soient les effectifs initiaux ?
Le système contrôlé est ˙
X = AX +
a
0
u et un bouclage s’écrit u = −kx, d’où le
système bouclé
(b)
˙
X = AX +
−akx
0
=
(2−ak)x −3
2
−1
X
En posant r = ak, le polynôme caractéristique de la matrice de (b) est
P =
2−r−z −3
2
−1−z
= z
2 + (r−1)z + r + 4
Pour que l’équilibre (0, 0) soit stable, il faut et il suffit que les coefficients r−1 et
r+4 soient positifs ou nuls, c’est-à-dire que l’on ait r 1, ou encore k 1/a.
®
x
y
1
1
Pour k = 1/a, les solutions du système bouclé sont
x(t)
y(t)
= 3c 1
sin
√
5t
−
√
5 cos
√
5t + sin
√
5t
+ 3c 2
cos
√
5t
√
5 sin
√
5t + cos
√
5t
et les effectifs x m + x et y m + y restent bornés quand t tend
vers +∞. Bien que les solutions ne tendent pas vers l’origine,
l’équilibre est stable.
®
x
y
1
1
Pour k > 1/a, les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative, donc les solutions tendent vers (0,0) : le système
est stabilisé et les effectifs tendent vers leurs valeurs d’équilibre
x m et y m d’autant plus vite que k est plus grand.
3. Systèmes différentiels généraux
On rencontre le plus souvent des systèmes différentiels où X
ne dépend pas
linéairement de X .
Nous avons montré page 478 que l’on peut ramener l’étude d’un système différentiel
quelconque à celle d’un système autonome, c’est-à-dire un système où la loi différentielle ne dépend pas du temps, comme par exemple
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
. Dans la suite,
nous ne considérerons donc que des systèmes autonomes.
On introduit le vecteur d’état X =
⎡
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x n
⎤
⎥
⎦ du système ; il décrit un domaine de R
n .
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 499