c’est possible, on dit que le système contrôlé X
= AX + BU peut être stabilisé par
bouclage linéaire.
Critère de régulation. Tout système linéaire contrôlé commandable peut être stabilisé
par bouclage linéaire.
Nous verrons qu’on peut même trouver une matrice de bouclage K pour que les
valeurs propres du système (c) soient des nombres λ 1 , λ 2 , . . . , λ n donnés à l’avance :
en choisissant λ i < 0 pour tout i, on obtient un système (c) dont toutes les solutions
tendent vers l’équilibre X = 0, avec des coordonnées en e
λ i t (si les λ i sont deux
à deux différents, toute solution est combinaison de solutions propres). Il est donc
possible de régler la stabilisation à un niveau plus ou moins fort.
La démonstration du critère montre comment calculer effectivement une matrice de
bouclage K .
Démonstration. Pour simplifier, supposons n = 3 et faisons la démonstration dans le cas
d’une commande numérique : B est une matrice à une seule colonne et U = u est un
nombre (m = 1). Le système contrôlé est X
= AX + Bu et dans sa matrice de commandabilité C = [ A
2 B AB B ], les produits A
i B sont des colonnes : la matrice C est donc
carrée de taille 3. Supposons que le système est commandable, donc la matrice C est inversible. On a I 3 = C
−1 [ A
2 B AB B ] = [ C
−1 A
2 B C
−1 AB C
−1 B ], donc les colonnes C
−1 A
2 B ,
C
−1 AB et C
−1 B sont les vecteurs canoniques E 1 =
1
0
0
, E 2 =
0
1
0
et E 3 =
0
0
1
. Posons
L = [ 1 0 0 ] C
−1 = (
t E 1 )C
−1 . Puisque
t E 1 = LC = [ LA
2 B LAB LB ], on a
LA
2 B = 1 et LAB = LB = 0.
Soit P =
L
LA
LA
2
. C’est une matrice carrée de taille 3 et l’on a P C =
LC
LAC
LA
2 C
=
1 0 0
LAC
LA
2 C
.
Montrons que la matrice P C est inversible.
® La deuxième ligne est LAC = [ LA
3 B LA
2 B LAB ] = [ LA
3 B 1 0 ]. D’après le théorème de
Cayley-Hamilton (page 152), on a la relation A
3 = −pA
2
− qA − rI 3 , où −(z
3 + pz
2 + qz + r)
est le polynôme caractéristique de A. Il vient donc LA
3 B = −pLA
2 B − qLAB − rLB = −p
et LAC = [ −p 1 0 ].
® De même, LA
4 B=−pLA
3 B−qLA
2 B−rLAB=p
2
−q et donc LA
2 C=[ LA
4 B LA
3 B LA
2 B ]=
[ p
2
−q −p 1 ].
Les lignes de P C sont en échelon, donc indépendantes, la matrice P C est inversible et par
suite aussi P . Dans le système X
= AX + Bu, faisons le changement d’inconnue Y = P X .
Il vient Y
= P X
= P AX + P Bu, ou encore
(1)
Y
= (P AP
−1 )Y + P Bu
Pour calculer la matrice de ce système, rappelons-nous que les lignes d’une matrice M sont
les produits (
t E i )M . La première ligne de P AP
−1 est donc
(
t E 1 )P AP
−1 = LAP
−1 , car (
t E 1 )P = L est la première ligne de P
=
t E 2 , car LA = (
t E 2 )P est la deuxième ligne de P .
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 497
= AX + BU peut être stabilisé par
bouclage linéaire.
Critère de régulation. Tout système linéaire contrôlé commandable peut être stabilisé
par bouclage linéaire.
Nous verrons qu’on peut même trouver une matrice de bouclage K pour que les
valeurs propres du système (c) soient des nombres λ 1 , λ 2 , . . . , λ n donnés à l’avance :
en choisissant λ i < 0 pour tout i, on obtient un système (c) dont toutes les solutions
tendent vers l’équilibre X = 0, avec des coordonnées en e
λ i t (si les λ i sont deux
à deux différents, toute solution est combinaison de solutions propres). Il est donc
possible de régler la stabilisation à un niveau plus ou moins fort.
La démonstration du critère montre comment calculer effectivement une matrice de
bouclage K .
Démonstration. Pour simplifier, supposons n = 3 et faisons la démonstration dans le cas
d’une commande numérique : B est une matrice à une seule colonne et U = u est un
nombre (m = 1). Le système contrôlé est X
= AX + Bu et dans sa matrice de commandabilité C = [ A
2 B AB B ], les produits A
i B sont des colonnes : la matrice C est donc
carrée de taille 3. Supposons que le système est commandable, donc la matrice C est inversible. On a I 3 = C
−1 [ A
2 B AB B ] = [ C
−1 A
2 B C
−1 AB C
−1 B ], donc les colonnes C
−1 A
2 B ,
C
−1 AB et C
−1 B sont les vecteurs canoniques E 1 =
1
0
0
, E 2 =
0
1
0
et E 3 =
0
0
1
. Posons
L = [ 1 0 0 ] C
−1 = (
t E 1 )C
−1 . Puisque
t E 1 = LC = [ LA
2 B LAB LB ], on a
LA
2 B = 1 et LAB = LB = 0.
Soit P =
L
LA
LA
2
. C’est une matrice carrée de taille 3 et l’on a P C =
LC
LAC
LA
2 C
=
1 0 0
LAC
LA
2 C
.
Montrons que la matrice P C est inversible.
® La deuxième ligne est LAC = [ LA
3 B LA
2 B LAB ] = [ LA
3 B 1 0 ]. D’après le théorème de
Cayley-Hamilton (page 152), on a la relation A
3 = −pA
2
− qA − rI 3 , où −(z
3 + pz
2 + qz + r)
est le polynôme caractéristique de A. Il vient donc LA
3 B = −pLA
2 B − qLAB − rLB = −p
et LAC = [ −p 1 0 ].
® De même, LA
4 B=−pLA
3 B−qLA
2 B−rLAB=p
2
−q et donc LA
2 C=[ LA
4 B LA
3 B LA
2 B ]=
[ p
2
−q −p 1 ].
Les lignes de P C sont en échelon, donc indépendantes, la matrice P C est inversible et par
suite aussi P . Dans le système X
= AX + Bu, faisons le changement d’inconnue Y = P X .
Il vient Y
= P X
= P AX + P Bu, ou encore
(1)
Y
= (P AP
−1 )Y + P Bu
Pour calculer la matrice de ce système, rappelons-nous que les lignes d’une matrice M sont
les produits (
t E i )M . La première ligne de P AP
−1 est donc
(
t E 1 )P AP
−1 = LAP
−1 , car (
t E 1 )P = L est la première ligne de P
=
t E 2 , car LA = (
t E 2 )P est la deuxième ligne de P .
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 497