c’est-à-dire K(t f ) = Q Q
−1 Y = Y , d’où S(t f ) = R(t f )Y . Ajoutons à S(t) la solution R(t)X 0
du système homogène. On obtient une solution X(t) telle que X(t f ) = R(t f )X 0 + S(t f ), donc
X(t f ) = R(t f )X 0 +R(t f )
R(−t f )X f −X 0
= R(t f )X 0 +X f −R(t f )X 0 = X f
X(0) = R(0)X 0 + S(0) = X 0 , car R(0) = I n et S(0) = 0.
La commande continue U (t) permet donc d’atteindre l’état final X f à partir de X 0 .
Supposons maintenant que la matrice de commandabilité est de rang n. Faisons l’hypothèse que Q n’est pas inversible et cherchons une contradiction. Pour tout s, la matrice
M (s) =
R(−s)B
t
R(−s)B
est symétrique et positive, donc Q aussi. Puisqu’on suppose Q
non inversible, c’est qu’il existe un vecteur V ∈ R
n non nul, tel que
t V QV = 0 (page 218).
Cela s’écrit encore
t f
0
(
t V )M (s)V ds =
t f
0
(
t V )R(−s)B
2 ds = 0, où désigne la norme
euclidienne. La fonction sous le signe intégrale est continue et positive ou nulle, son intégrale
est nulle, donc elle est nulle (page 288). On a donc (
t V )R(s)B = 0 pour tout s ∈ [−t f , 0].
En dérivant, il vient (
t V )R
(s)B = (
t V )AR(s)B = 0, car R
= AR, et en dérivant k fois, on
obtient (
t V )A
k R(s)B = 0 pour tout s entre −t f et 0. En particulier, en prenant s = 0, on a
R(0) = I n et donc (
t V )A
k B = 0. Cette égalité est vraie pour tout k, donc
(
t V ) [ A
n−1 B A
n−2 B . . . AB B ] = [ (
t V )A
n−1 B (
t V )A
n−2 B . . . (
t V )AB (
t V )B ] = 0
ou encore (
t V )C = 0 en appelant C la matrice de commandabilité. Comme le vecteur-ligne
t V n’est pas nul, cela exprime que les n lignes de C ne sont pas indépendantes : c’est une
contradiction.
Exemple. Pour le modèle de four présenté dans l’exemple précédent, la matrice
de commandabilité est C = [ AB B ] =
−(a e r e + a i r i )/c
2
p 1/c p
a i r i /c i c p
0
. Les deux lignes
ne sont pas proportionnelles, donc C est de rang 2 et le système est commandable.
Ce résultat théorique n’est qu’un premier élément de réponse à la question posée, car
dans la pratique, on ne dispose que d’une commande u(t) à valeurs positives ou nulles.
2.2 Introduction au rétro-contrôle
Pour une condition initiale donnée, la réponse X(t) d’un système différentiel contrôlé
X
= AX + BU dépend du vecteur de contrôle U = (u 1 , . . . , u m ) dont les coefficients
agissent par les formules linéaires définies par B. Pour réaliser une commande automatique, on fait à tout instant dépendre U de l’état X . On réalise ce couplage
au moyen de différents dispositifs, comme par exemple un thermostat, qui mesurent
l’état X et calculent la commande U (X). On dit qu’on a réalisé un bouclage du
système. Le système fonctionne alors en mode automatique.
Considérons seulement le cas d’un bouclage linéaire : le vecteur U (X) est de la forme
−KX , où K est une matrice à m lignes et n colonnes ; la matrice BK est alors carrée
de taille n, comme la matrice A. Le système bouclé s’écrit X
=AX −BKX , ou encore
(c)
X
= (A − BK)X
En général, on cherche à stabiliser dans le temps l’état X(t) : il s’agit donc de trouver
une matrice K pour que le système différentiel (c) ait un équilibre stable. Lorsque
496 – SYST `
EME DIFF ´
ERENTIEL LIN ´
EAIRE CONTR ˆ
OL ´
E
−1 Y = Y , d’où S(t f ) = R(t f )Y . Ajoutons à S(t) la solution R(t)X 0
du système homogène. On obtient une solution X(t) telle que X(t f ) = R(t f )X 0 + S(t f ), donc
X(t f ) = R(t f )X 0 +R(t f )
R(−t f )X f −X 0
= R(t f )X 0 +X f −R(t f )X 0 = X f
X(0) = R(0)X 0 + S(0) = X 0 , car R(0) = I n et S(0) = 0.
La commande continue U (t) permet donc d’atteindre l’état final X f à partir de X 0 .
Supposons maintenant que la matrice de commandabilité est de rang n. Faisons l’hypothèse que Q n’est pas inversible et cherchons une contradiction. Pour tout s, la matrice
M (s) =
R(−s)B
t
R(−s)B
est symétrique et positive, donc Q aussi. Puisqu’on suppose Q
non inversible, c’est qu’il existe un vecteur V ∈ R
n non nul, tel que
t V QV = 0 (page 218).
Cela s’écrit encore
t f
0
(
t V )M (s)V ds =
t f
0
(
t V )R(−s)B
2 ds = 0, où désigne la norme
euclidienne. La fonction sous le signe intégrale est continue et positive ou nulle, son intégrale
est nulle, donc elle est nulle (page 288). On a donc (
t V )R(s)B = 0 pour tout s ∈ [−t f , 0].
En dérivant, il vient (
t V )R
(s)B = (
t V )AR(s)B = 0, car R
= AR, et en dérivant k fois, on
obtient (
t V )A
k R(s)B = 0 pour tout s entre −t f et 0. En particulier, en prenant s = 0, on a
R(0) = I n et donc (
t V )A
k B = 0. Cette égalité est vraie pour tout k, donc
(
t V ) [ A
n−1 B A
n−2 B . . . AB B ] = [ (
t V )A
n−1 B (
t V )A
n−2 B . . . (
t V )AB (
t V )B ] = 0
ou encore (
t V )C = 0 en appelant C la matrice de commandabilité. Comme le vecteur-ligne
t V n’est pas nul, cela exprime que les n lignes de C ne sont pas indépendantes : c’est une
contradiction.
Exemple. Pour le modèle de four présenté dans l’exemple précédent, la matrice
de commandabilité est C = [ AB B ] =
−(a e r e + a i r i )/c
2
p 1/c p
a i r i /c i c p
0
. Les deux lignes
ne sont pas proportionnelles, donc C est de rang 2 et le système est commandable.
Ce résultat théorique n’est qu’un premier élément de réponse à la question posée, car
dans la pratique, on ne dispose que d’une commande u(t) à valeurs positives ou nulles.
2.2 Introduction au rétro-contrôle
Pour une condition initiale donnée, la réponse X(t) d’un système différentiel contrôlé
X
= AX + BU dépend du vecteur de contrôle U = (u 1 , . . . , u m ) dont les coefficients
agissent par les formules linéaires définies par B. Pour réaliser une commande automatique, on fait à tout instant dépendre U de l’état X . On réalise ce couplage
au moyen de différents dispositifs, comme par exemple un thermostat, qui mesurent
l’état X et calculent la commande U (X). On dit qu’on a réalisé un bouclage du
système. Le système fonctionne alors en mode automatique.
Considérons seulement le cas d’un bouclage linéaire : le vecteur U (X) est de la forme
−KX , où K est une matrice à m lignes et n colonnes ; la matrice BK est alors carrée
de taille n, comme la matrice A. Le système bouclé s’écrit X
=AX −BKX , ou encore
(c)
X
= (A − BK)X
En général, on cherche à stabiliser dans le temps l’état X(t) : il s’agit donc de trouver
une matrice K pour que le système différentiel (c) ait un équilibre stable. Lorsque
496 – SYST `
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