® A est une matrice de taille n à coefficients constants,
® B est une matrice constante à n lignes et m colonnes,
® U est un vecteur dont les coefficients u 1 , u 2 , . . . , u m sont des paramètres.
On dit que c’est un système contrôlé, avec paramètre de contrôle U . Comme dans le
cadre des itérations affines (page 191), étudions si par une commande convenable,
on peut amener la réponse X(t) dans l’état qu’on veut.
2.1 Commandabilité
Définition
Le système contrôlé X
= AX + BU est commandable si pour tout état initial X 0 et
pour tout état final X f , il existe un instant t f > 0 et une fonction continue U (t),
0 t t f , telle que la solution du système X
= AX + BU (t) de condition initiale
X(0) = X 0 vérifie X(t f ) = X f .
Quand un système est commandable, il est possible d’atteindre, en un temps fini,
n’importe quel objectif X f à partir de n’importe quel état initial X 0 , au moyen
d’une commande U (t) appropriée. Comme pour les itérations affines, introduisons
la matrice de commandabilité.
Définition
La matrice de commandabilité du système est la matrice C=[ A
n−1 B A
n−2 B . . . AB B ]
obtenue en juxtaposant les n matrices A
n−1 B, A
n−2 B, · · · , AB, B. La matrice C
possède n lignes et nm colonnes.
Critère de commandabilité. Le système linéaire contrôlé X
= AX + BU est commandable si et seulement si sa matrice de commandabilité est de rang n.
Démonstration que la condition est suffisante. Choisissons comme résolvante du système X
= AX la matrice R = R 0 telle que R(0) = I 2 (page 488). On a donc aussi R(t + t
) =
R(t)R(t
) et R(t)
−1 = R(−t). Remarquons que la matrice B(
t B) est carrée de taille n et posons
M (s) = R(−s)B (
t B)
t R(−s)
et Q =
t f
0
M (s) ds
l’intégration se faisant coefficient par coefficient. Si la matrice Q est inversible, définissons la
commande
U (s) = (
t B)
t R(−s)
Q
−1 Y , avec Y = R(−t f )X f − X 0 .
Une solution particulière du système X
= AX + BU (t) est S(t) = R(t)K(t), avec K(t) =
t
0
R(−s)BU (s) ds (page 492). On a R(−s)BU (s) = R(−s)B(
t B)
t R(−s)
Q
−1 Y . Comme
l’intégrale est une opération linéaire, il vient
K(t f ) =
t f
0
R(−s)B(
t B)
t R(−s)
Q
−1 Y ds =
t f
0
R(−s)B(
t B)
t R(−s)
ds
Q
−1 Y
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 495
® B est une matrice constante à n lignes et m colonnes,
® U est un vecteur dont les coefficients u 1 , u 2 , . . . , u m sont des paramètres.
On dit que c’est un système contrôlé, avec paramètre de contrôle U . Comme dans le
cadre des itérations affines (page 191), étudions si par une commande convenable,
on peut amener la réponse X(t) dans l’état qu’on veut.
2.1 Commandabilité
Définition
Le système contrôlé X
= AX + BU est commandable si pour tout état initial X 0 et
pour tout état final X f , il existe un instant t f > 0 et une fonction continue U (t),
0 t t f , telle que la solution du système X
= AX + BU (t) de condition initiale
X(0) = X 0 vérifie X(t f ) = X f .
Quand un système est commandable, il est possible d’atteindre, en un temps fini,
n’importe quel objectif X f à partir de n’importe quel état initial X 0 , au moyen
d’une commande U (t) appropriée. Comme pour les itérations affines, introduisons
la matrice de commandabilité.
Définition
La matrice de commandabilité du système est la matrice C=[ A
n−1 B A
n−2 B . . . AB B ]
obtenue en juxtaposant les n matrices A
n−1 B, A
n−2 B, · · · , AB, B. La matrice C
possède n lignes et nm colonnes.
Critère de commandabilité. Le système linéaire contrôlé X
= AX + BU est commandable si et seulement si sa matrice de commandabilité est de rang n.
Démonstration que la condition est suffisante. Choisissons comme résolvante du système X
= AX la matrice R = R 0 telle que R(0) = I 2 (page 488). On a donc aussi R(t + t
) =
R(t)R(t
) et R(t)
−1 = R(−t). Remarquons que la matrice B(
t B) est carrée de taille n et posons
M (s) = R(−s)B (
t B)
t R(−s)
et Q =
t f
0
M (s) ds
l’intégration se faisant coefficient par coefficient. Si la matrice Q est inversible, définissons la
commande
U (s) = (
t B)
t R(−s)
Q
−1 Y , avec Y = R(−t f )X f − X 0 .
Une solution particulière du système X
= AX + BU (t) est S(t) = R(t)K(t), avec K(t) =
t
0
R(−s)BU (s) ds (page 492). On a R(−s)BU (s) = R(−s)B(
t B)
t R(−s)
Q
−1 Y . Comme
l’intégrale est une opération linéaire, il vient
K(t f ) =
t f
0
R(−s)B(
t B)
t R(−s)
Q
−1 Y ds =
t f
0
R(−s)B(
t B)
t R(−s)
ds
Q
−1 Y
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 495