Si l’on pose X =
x
y
, ce système s’écrit sous forme matricielle
X
= AX + B(t), avec A =
0 1
−q −p
et B(t) =
0
b(t)
.
La résolution de (s) fournit les solutions x(t) de (e). En particulier, la méthode de
variation de la constante présentée ci-dessus permet toujours d’exprimer une solution
particulière de (e) : les calculs conduisent à la formule page 451, où w est ici de la
forme w 0 e
−pt .
2. Système différentiel linéaire contrôlé
Considérons une quantité vectorielle X(t) régie par un système différentiel linéaire
homogène X
= AX de taille n. Supposons qu’on puisse modifier le système au
moyen de paramètres de commande u 1 , u 2 , . . . agissant en continu.
Exemple. Un four électrique est constitué d’une enceinte entourée d’une paroi
chauffante épaisse. Notons
® c i et c p les capacités calorifiques de l’intérieur et de la paroi du four,
® s i et s e les aires des parois intérieures et extérieures,
® r i et r e les coefficients de radiation de la paroi intérieure et de la paroi extérieure.
T e
T p
T i
u
Les variations de température par convection sont proportionnels
à la surface d’échange et à l’écart des températures. Notons T p
la température moyenne dans la paroi, T e et T i les températures
à l’extérieur et à l’intérieur du four. Si u est le flux de chaleur
apporté par le chauffage du four, les bilans caloriques conduisent
aux équations suivantes :
c p ˙
T p = −s e r e (T p − T e ) − s i r i (T p − T i ) + u
(pour la paroi)
c i ˙
T i = s i r i (T p − T i )
(pour l’intérieur).
Introduisons les excès de température x = T p − T e et y = T i − T e par rapport à
l’extérieur. Puisque T p −T i = x−y, il vient
˙
x
˙
y
=
−(s e r e +s i r i )/c p s i r i /c p
s i r i /c i
−s i r i /c i
x
y
+
1/c p
0
u
On peut régler u au moyen d’un dispositif électrique : u est le paramètre de contrôle
et l’on dit que le système différentiel est contrôlé. La question est la suivante :
par un réglage en continu u(t) convenable, peut-on, à partir de n’importe quelle
température initiale, atteindre dans le four une température donnée quelconque ?
Plus généralement, considérons un système différentiel linéaire de la forme
X
= AX + BU , où
494 – SYST `
EME DIFF ´
ERENTIEL LIN ´
EAIRE CONTR ˆ
OL ´
E
x
y
, ce système s’écrit sous forme matricielle
X
= AX + B(t), avec A =
0 1
−q −p
et B(t) =
0
b(t)
.
La résolution de (s) fournit les solutions x(t) de (e). En particulier, la méthode de
variation de la constante présentée ci-dessus permet toujours d’exprimer une solution
particulière de (e) : les calculs conduisent à la formule page 451, où w est ici de la
forme w 0 e
−pt .
2. Système différentiel linéaire contrôlé
Considérons une quantité vectorielle X(t) régie par un système différentiel linéaire
homogène X
= AX de taille n. Supposons qu’on puisse modifier le système au
moyen de paramètres de commande u 1 , u 2 , . . . agissant en continu.
Exemple. Un four électrique est constitué d’une enceinte entourée d’une paroi
chauffante épaisse. Notons
® c i et c p les capacités calorifiques de l’intérieur et de la paroi du four,
® s i et s e les aires des parois intérieures et extérieures,
® r i et r e les coefficients de radiation de la paroi intérieure et de la paroi extérieure.
T e
T p
T i
u
Les variations de température par convection sont proportionnels
à la surface d’échange et à l’écart des températures. Notons T p
la température moyenne dans la paroi, T e et T i les températures
à l’extérieur et à l’intérieur du four. Si u est le flux de chaleur
apporté par le chauffage du four, les bilans caloriques conduisent
aux équations suivantes :
c p ˙
T p = −s e r e (T p − T e ) − s i r i (T p − T i ) + u
(pour la paroi)
c i ˙
T i = s i r i (T p − T i )
(pour l’intérieur).
Introduisons les excès de température x = T p − T e et y = T i − T e par rapport à
l’extérieur. Puisque T p −T i = x−y, il vient
˙
x
˙
y
=
−(s e r e +s i r i )/c p s i r i /c p
s i r i /c i
−s i r i /c i
x
y
+
1/c p
0
u
On peut régler u au moyen d’un dispositif électrique : u est le paramètre de contrôle
et l’on dit que le système différentiel est contrôlé. La question est la suivante :
par un réglage en continu u(t) convenable, peut-on, à partir de n’importe quelle
température initiale, atteindre dans le four une température donnée quelconque ?
Plus généralement, considérons un système différentiel linéaire de la forme
X
= AX + BU , où
494 – SYST `
EME DIFF ´
ERENTIEL LIN ´
EAIRE CONTR ˆ
OL ´
E