On a
te
(5/2)t dt = 2
25
(5t−2)e
(5/2)t et
te
(1/2)t dt = 2(t−2)e
(1/2)t , d’où
K(t) =
(3v/50)(5t−2)e
(5/2)t
(v/2)(t−2)e
(1/2)t
. Une solution particulière de (s) est donc
S(t) = R(t)K(t) = 4v
25
5t−7
15t−36
La solution générale de (s) est
X(t) = R(t)
k 1
k 2
+ S(t) =
⎡
⎢
⎣
k 1 e
−(5/2)t + k 2 e
−(1/2)t +
4v(5t−7)
25
−2k 1 e
−(5/2)t + 6k 2 e
−(1/2)t +
4v(15t−36)
25
⎤
⎥
⎦
avec k 1 et k 2 des constantes arbitraires.
Supposons qu’à l’instant initial t = 0 où l’on commence l’injection, les compartiments
ne contiennent pas de substance. Les conditions initiales sont donc x(0) = y(0) = 0.
En calculant les constantes k 1 et k 2 pour satisfaire ces conditions, on obtient
S 0 (t) =
x 0 (t)
y 0 (t)
= v
(3/25)e
−(5/2)t +e
−(1/2)t +(4/5)t−28/25
−(6/25)e
−(5/2)t +6e
−(1/2)t +(12/5)t−144/25
Supposons qu’on arrête l’injection à l’instant T : passé cet instant, les fonctions x(t)
et y(t) sont régies par le système homogène X
= AX . Pour t > T ,
x(t)
y(t)
est donc
la solution S 1 (t) du système homogène telle que S 1 (T ) = S 0 (T ). On a S 1 (t) = R(t)C ,
où le vecteur constant C doit vérifier R(T )C = S 0 (T ) ; en résolvant cette équation
linéaire, on obtient C , ce qui permet de calculer S 1 (t).
x
y
S 0
( t )
t T
0
=
La figure ci-contre montre l’allure de la courbe
x(t), y(t)
ainsi obtenue. La partie inférieure de la courbe correspond à
S 0 (t) : tant que t < T , les quantités x(t) et y(t) augmentent.
À l’instant T , il y a rebroussement : pour t > T , x(t) décroît
tandis que y(t) continue à croître jusqu’à un maximum, puis
x(t) et y(t) décroissent vers 0 (partie supérieure de la courbe).
Comme y(t) continue à croître un moment après l’arrêt de l’injection, il faut interrompre celle-ci à temps pour ne pas dépasser
la concentration maximale admissible dans le compartiment.
Application à une équation linéaire du second ordre
Considérons l’équation différentielle linéaire (e) x
+ px
+ qx = b(t), où p et q sont
des constantes. En posant y = x
, il vient y
= x
= −px
− qx + b(t) et le système
différentiel suivant est équivalent à (e) :
(s)
x
= y
y
= −qx − py + b(t)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 493
te
(5/2)t dt = 2
25
(5t−2)e
(5/2)t et
te
(1/2)t dt = 2(t−2)e
(1/2)t , d’où
K(t) =
(3v/50)(5t−2)e
(5/2)t
(v/2)(t−2)e
(1/2)t
. Une solution particulière de (s) est donc
S(t) = R(t)K(t) = 4v
25
5t−7
15t−36
La solution générale de (s) est
X(t) = R(t)
k 1
k 2
+ S(t) =
⎡
⎢
⎣
k 1 e
−(5/2)t + k 2 e
−(1/2)t +
4v(5t−7)
25
−2k 1 e
−(5/2)t + 6k 2 e
−(1/2)t +
4v(15t−36)
25
⎤
⎥
⎦
avec k 1 et k 2 des constantes arbitraires.
Supposons qu’à l’instant initial t = 0 où l’on commence l’injection, les compartiments
ne contiennent pas de substance. Les conditions initiales sont donc x(0) = y(0) = 0.
En calculant les constantes k 1 et k 2 pour satisfaire ces conditions, on obtient
S 0 (t) =
x 0 (t)
y 0 (t)
= v
(3/25)e
−(5/2)t +e
−(1/2)t +(4/5)t−28/25
−(6/25)e
−(5/2)t +6e
−(1/2)t +(12/5)t−144/25
Supposons qu’on arrête l’injection à l’instant T : passé cet instant, les fonctions x(t)
et y(t) sont régies par le système homogène X
= AX . Pour t > T ,
x(t)
y(t)
est donc
la solution S 1 (t) du système homogène telle que S 1 (T ) = S 0 (T ). On a S 1 (t) = R(t)C ,
où le vecteur constant C doit vérifier R(T )C = S 0 (T ) ; en résolvant cette équation
linéaire, on obtient C , ce qui permet de calculer S 1 (t).
x
y
S 0
( t )
t T
0
=
La figure ci-contre montre l’allure de la courbe
x(t), y(t)
ainsi obtenue. La partie inférieure de la courbe correspond à
S 0 (t) : tant que t < T , les quantités x(t) et y(t) augmentent.
À l’instant T , il y a rebroussement : pour t > T , x(t) décroît
tandis que y(t) continue à croître jusqu’à un maximum, puis
x(t) et y(t) décroissent vers 0 (partie supérieure de la courbe).
Comme y(t) continue à croître un moment après l’arrêt de l’injection, il faut interrompre celle-ci à temps pour ne pas dépasser
la concentration maximale admissible dans le compartiment.
Application à une équation linéaire du second ordre
Considérons l’équation différentielle linéaire (e) x
+ px
+ qx = b(t), où p et q sont
des constantes. En posant y = x
, il vient y
= x
= −px
− qx + b(t) et le système
différentiel suivant est équivalent à (e) :
(s)
x
= y
y
= −qx − py + b(t)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 493