Dans les applications, le problème possède parfois une solution particulière évidente,
par exemple une solution constante. Mais nous allons voir que l’on peut calculer
une solution particulière de (s) au moyen des solutions de (h).
Méthode de variation de la constante
Cherchons une solution S(t) de la forme S(t) = R(t)K(t), où K(t) est une fonction
inconnue : c’est la méthode de variation de la constante, analogue à celle pratiquée page
444 pour une équation linéaire numérique.
On a S
= R
K + RK
, car chaque coefficient de S(t) est une somme de termes r(t)k(t),
où r(t) et k(t) sont des coefficients de R et K . La condition pour que S(t) soit solution
est donc
S
= AS + B(t) ⇐⇒ R
K + RK
= ARK + B
⇐⇒ ARK + RK
= ARK + B , car R
= AR
et en simplifiant par ARK , il vient RK
= B , ou encore K
= R
−1 B .
S(t) = R(t)K(t) est solution de (s) si et seulement si K
(t) = R(t)
−1 B(t).
On choisit une primitive de la fonction vectorielle R(t)
−1 B(t) en intégrant coefficient
par coefficient et la solution générale de (s) s’écrit
X(t) = R(t)K + R(t)
t
R(s)
−1 B(s) ds
, avec K un vecteur de constantes.
Exemple. Reprenons l’exemple de la diffusion d’une substance dans deux compartiments tissulaires (page 488) en supposant que la matrice du système est
A =
−2 1/4
3 −1
Injectons la substance dans le compartiment (1) avec un débit v. Les quantités x(t)
et y(t) présentes dans les compartiments (1) et (2) sont alors solutions du système
(s)
˙
x
˙
y
= A
x
y
+
vt
0
Le polynôme caractéristique de A est
−2−z 1/4
3 −1−z
=z
2 +3z+(5/4)=(z+5/2)(z+1/2),
les valeurs propres sont −5/2 et −1/2 et les vecteurs propres sont V 1 =
1
−2
et
V 2 =
1
6
. La matrice résolvante du système homogène X
= AX est donc
R(t) =
V 1 e
−(5/2)t V 2 e
−(1/2)t
=
e
−(5/2)t
e
−(1/2)t
−2e
−(5/2)t 6e
−(1/2)t
On a R(t)
−1 = 1
8
6e
(5/2)t
−e
(5/2)t
2e
(1/2)t e
(1/2)t
. Le second membre est B(t) =
vt
0
et
K
(t) = R(t)
−1 B(t) = v
4
3te
(5/2)t
te
(1/2)t
492 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
par exemple une solution constante. Mais nous allons voir que l’on peut calculer
une solution particulière de (s) au moyen des solutions de (h).
Méthode de variation de la constante
Cherchons une solution S(t) de la forme S(t) = R(t)K(t), où K(t) est une fonction
inconnue : c’est la méthode de variation de la constante, analogue à celle pratiquée page
444 pour une équation linéaire numérique.
On a S
= R
K + RK
, car chaque coefficient de S(t) est une somme de termes r(t)k(t),
où r(t) et k(t) sont des coefficients de R et K . La condition pour que S(t) soit solution
est donc
S
= AS + B(t) ⇐⇒ R
K + RK
= ARK + B
⇐⇒ ARK + RK
= ARK + B , car R
= AR
et en simplifiant par ARK , il vient RK
= B , ou encore K
= R
−1 B .
S(t) = R(t)K(t) est solution de (s) si et seulement si K
(t) = R(t)
−1 B(t).
On choisit une primitive de la fonction vectorielle R(t)
−1 B(t) en intégrant coefficient
par coefficient et la solution générale de (s) s’écrit
X(t) = R(t)K + R(t)
t
R(s)
−1 B(s) ds
, avec K un vecteur de constantes.
Exemple. Reprenons l’exemple de la diffusion d’une substance dans deux compartiments tissulaires (page 488) en supposant que la matrice du système est
A =
−2 1/4
3 −1
Injectons la substance dans le compartiment (1) avec un débit v. Les quantités x(t)
et y(t) présentes dans les compartiments (1) et (2) sont alors solutions du système
(s)
˙
x
˙
y
= A
x
y
+
vt
0
Le polynôme caractéristique de A est
−2−z 1/4
3 −1−z
=z
2 +3z+(5/4)=(z+5/2)(z+1/2),
les valeurs propres sont −5/2 et −1/2 et les vecteurs propres sont V 1 =
1
−2
et
V 2 =
1
6
. La matrice résolvante du système homogène X
= AX est donc
R(t) =
V 1 e
−(5/2)t V 2 e
−(1/2)t
=
e
−(5/2)t
e
−(1/2)t
−2e
−(5/2)t 6e
−(1/2)t
On a R(t)
−1 = 1
8
6e
(5/2)t
−e
(5/2)t
2e
(1/2)t e
(1/2)t
. Le second membre est B(t) =
vt
0
et
K
(t) = R(t)
−1 B(t) = v
4
3te
(5/2)t
te
(1/2)t
492 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES