et que leur somme −p soit négative ou nulle ; quand les racines sont complexes conjuguées,
on a q = λλ > 0 et la condition de stabilité est −p = 2 Re(λ) 0.
Supposons encore la matrice A de taille 2.
® Si les valeurs propres sont réelles non nulles et de même signe, les trajectoires non
rectilignes sont toutes tangentes à l’une des directions propres (figure 1).
® Si les valeurs propres sont réelles et de signes contraires, les trajectoires non rectilignes sont des « branches hyperboliques » asymptotes aux directions propres (fig. 2).
® Si les valeurs propres sont non réelles (donc complexes conjuguées), les trajectoires sont des spirales (figure 3), ou des ellipses dans le cas de valeurs propres
imaginaires pures (voir figure page 499).
Voici différentes possibilités de trajectoires, selon les valeurs propres λ et μ :
x
y
λ < μ < 0
équilibre stable
figure 1
x
y
λ < 0 < μ
équilibre instable
figure 2
x
y
λ = a + i b
b
= 0 et a < 0
équilibre stable
figure 3
Si l’on change le signe de toutes les valeurs propres, les trajectoires sont les mêmes
mais leur sens de parcours est inversé.
On retrouve les dessins obtenus pages 187 et 188 dans l’étude des itérations linéaires. Ce
n’est pas un hasard. En effet, si l’on choisit un pas h>0, les itérés de X 0 par la transformation X →R 0 (h)X sont les points X n =[R 0 (h)]
n X 0 . Puisqu’on a [R 0 (h)]
n =R 0 (nh) d’après
les propriétés de la résolvante R 0 , il vient X n =R 0 (nh)X 0 , donc les points X n sont sur la
trajectoire de X 0 . Si par exemple A est la matrice diagonale de valeurs propres λ et μ, alors
R 0 (h) est diagonale de valeurs propres e
λh ,e
μh . Dans le cas λ<μ<0, on a 0
et la trajectoire a bien la forme des itérés d’un point par une matrice de valeurs propres
strictement comprises entre 0 et 1. On retrouve de même les autres formes de trajectoires,
selon la position de e
λh et de e
μh par rapport à 1, c’est-à-dire selon le signe de λ et μ.
1.4 Système avec second membre
Pour résoudre un système différentiel linéaire (s) X
= AX + B(t) où le second
membre B(t) est un vecteur de fonctions,
a) on résout le système homogène (h) X
=AX : les solutions de (h) s’écrivent X(t)=
R(t)K , où R(t) est une matrice résolvante et K un vecteur constant quelconque ;
b) et l’on cherche une solution particulière S(t) du système complet.
Les solutions de (s) sont toutes les fonctions R(t)K + S(t), où K est un vecteur
constant quelconque (propriété page 481).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 491
on a q = λλ > 0 et la condition de stabilité est −p = 2 Re(λ) 0.
Supposons encore la matrice A de taille 2.
® Si les valeurs propres sont réelles non nulles et de même signe, les trajectoires non
rectilignes sont toutes tangentes à l’une des directions propres (figure 1).
® Si les valeurs propres sont réelles et de signes contraires, les trajectoires non rectilignes sont des « branches hyperboliques » asymptotes aux directions propres (fig. 2).
® Si les valeurs propres sont non réelles (donc complexes conjuguées), les trajectoires sont des spirales (figure 3), ou des ellipses dans le cas de valeurs propres
imaginaires pures (voir figure page 499).
Voici différentes possibilités de trajectoires, selon les valeurs propres λ et μ :
x
y
λ < μ < 0
équilibre stable
figure 1
x
y
λ < 0 < μ
équilibre instable
figure 2
x
y
λ = a + i b
b
= 0 et a < 0
équilibre stable
figure 3
Si l’on change le signe de toutes les valeurs propres, les trajectoires sont les mêmes
mais leur sens de parcours est inversé.
On retrouve les dessins obtenus pages 187 et 188 dans l’étude des itérations linéaires. Ce
n’est pas un hasard. En effet, si l’on choisit un pas h>0, les itérés de X 0 par la transformation X →R 0 (h)X sont les points X n =[R 0 (h)]
n X 0 . Puisqu’on a [R 0 (h)]
n =R 0 (nh) d’après
les propriétés de la résolvante R 0 , il vient X n =R 0 (nh)X 0 , donc les points X n sont sur la
trajectoire de X 0 . Si par exemple A est la matrice diagonale de valeurs propres λ et μ, alors
R 0 (h) est diagonale de valeurs propres e
λh ,e
μh . Dans le cas λ<μ<0, on a 0
et la trajectoire a bien la forme des itérés d’un point par une matrice de valeurs propres
strictement comprises entre 0 et 1. On retrouve de même les autres formes de trajectoires,
selon la position de e
λh et de e
μh par rapport à 1, c’est-à-dire selon le signe de λ et μ.
1.4 Système avec second membre
Pour résoudre un système différentiel linéaire (s) X
= AX + B(t) où le second
membre B(t) est un vecteur de fonctions,
a) on résout le système homogène (h) X
=AX : les solutions de (h) s’écrivent X(t)=
R(t)K , où R(t) est une matrice résolvante et K un vecteur constant quelconque ;
b) et l’on cherche une solution particulière S(t) du système complet.
Les solutions de (s) sont toutes les fonctions R(t)K + S(t), où K est un vecteur
constant quelconque (propriété page 481).
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 491