Stabilité de l'équilibre
L’origine O est un équilibre stable si toutes les solutions de condition initiale X(t 0 )
voisines de zéro restent proches de O pour t t 0 .
D’après les différents types de solutions trouvés lors de la résolution, on a le résultat
suivant.
Conditions de stabilité
® Si toutes les valeurs propres de la matrice A ont leur partie réelle strictement négative,
alors toutes les solutions de X
= AX tendent vers 0 quand t tend vers +∞ et l’origine
est un équilibre stable.
® Si l’une au moins des valeurs propres est de partie réelle strictement positive, l’origine
est un équilibre instable.
® Si la matrice A est diagonalisable et si toutes ses valeurs propres sont de partie réelle
négative ou nulle, alors l’origine est un équilibre stable.
Démonstration. Chaque valeur propre réelle λ détermine une solution propre U (t) = e
λt V ,
où V un vecteur propre associé, de norme U (t) = e
λt
V . Si λ = 0, la norme de U (t) est
constante. Si λ < 0, la norme tend vers 0 en décroissant quand t tend vers +∞. Si λ > 0, la
norme tend vers +∞ quand t tend vers +∞ et l’équilibre n’est pas stable.
Si λ = a+ i ω est une valeur propre complexe, les solutions associées sont de la forme
U (t) = e
at
c 1 cos(ωt+ϕ 1 )
c 2 cos(ωt+ϕ 2 )
et l’on a U (t) ke
at , où k est une constante ; on en déduit
que si a 0, la norme de U (t) reste bornée par k quand t parcourt [0, +∞[ et que si a < 0,
la norme tend vers 0 quand t tend vers +∞.
Si A est diagonalisable, toute solution est combinaison linéaire de solutions du type précédent,
d’où les affirmations ci-dessus dans ce cas.
Quand A est seulement trigonalisable, les solutions peuvent avoir dans leur coordonnées des
fonctions de la forme q(t)e
at ou q(t)e
at cos(ωt+ϕ), où a est une partie réelle de valeur propre
et q(t) un polynôme. Si a < 0, alors lim
t→+∞
q(t)e
at = 0, donc ces fonctions restent bornées
quand t parcourt [0, +∞[. On en déduit que si toutes les valeurs propres sont de partie réelle
strictement négative, alors toutes les solutions tendent vers O et l’équilibre est stable.
Critère de stabilité en dimension 2 . Supposons que la matrice A est de taille 2
et possède au moins une valeur propre non nulle. Alors pour le système différentiel X
= AX ,
l’équilibre O est stable si et seulement si les coefficients du polynôme caractéristique de A
sont positifs ou nuls.
Démonstration. Pour que l’équilibre (0, 0) soit stable, il faut que les valeurs propres soient
de partie réelle négative ou nulle. Réciproquement, si les valeurs propres λ et μ sont de partie
réelle strictement négative, ou si λ < μ = 0, l’équilibre est stable ; si leur partie réelle est nulle,
alors λ et μ sont imaginaires pures (on a exclu le cas λ = μ = 0) et l’équilibre est stable, car
les coordonnées des solutions sont des fonctions a cos(ωt + ϕ). Ainsi l’équilibre est stable si et
seulement si λ et μ sont de partie réelle négative ou nulle. Le polynôme caractéristique de A
est P = (z−λ)(z−μ) = z
2 + pz + q, où p = −(λ + μ) et q = λμ. Quand les racines sont réelles,
elles sont toutes deux négatives ou nulles à la condition que leur produit q soit positif ou nul
490 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
L’origine O est un équilibre stable si toutes les solutions de condition initiale X(t 0 )
voisines de zéro restent proches de O pour t t 0 .
D’après les différents types de solutions trouvés lors de la résolution, on a le résultat
suivant.
Conditions de stabilité
® Si toutes les valeurs propres de la matrice A ont leur partie réelle strictement négative,
alors toutes les solutions de X
= AX tendent vers 0 quand t tend vers +∞ et l’origine
est un équilibre stable.
® Si l’une au moins des valeurs propres est de partie réelle strictement positive, l’origine
est un équilibre instable.
® Si la matrice A est diagonalisable et si toutes ses valeurs propres sont de partie réelle
négative ou nulle, alors l’origine est un équilibre stable.
Démonstration. Chaque valeur propre réelle λ détermine une solution propre U (t) = e
λt V ,
où V un vecteur propre associé, de norme U (t) = e
λt
V . Si λ = 0, la norme de U (t) est
constante. Si λ < 0, la norme tend vers 0 en décroissant quand t tend vers +∞. Si λ > 0, la
norme tend vers +∞ quand t tend vers +∞ et l’équilibre n’est pas stable.
Si λ = a+ i ω est une valeur propre complexe, les solutions associées sont de la forme
U (t) = e
at
c 1 cos(ωt+ϕ 1 )
c 2 cos(ωt+ϕ 2 )
et l’on a U (t) ke
at , où k est une constante ; on en déduit
que si a 0, la norme de U (t) reste bornée par k quand t parcourt [0, +∞[ et que si a < 0,
la norme tend vers 0 quand t tend vers +∞.
Si A est diagonalisable, toute solution est combinaison linéaire de solutions du type précédent,
d’où les affirmations ci-dessus dans ce cas.
Quand A est seulement trigonalisable, les solutions peuvent avoir dans leur coordonnées des
fonctions de la forme q(t)e
at ou q(t)e
at cos(ωt+ϕ), où a est une partie réelle de valeur propre
et q(t) un polynôme. Si a < 0, alors lim
t→+∞
q(t)e
at = 0, donc ces fonctions restent bornées
quand t parcourt [0, +∞[. On en déduit que si toutes les valeurs propres sont de partie réelle
strictement négative, alors toutes les solutions tendent vers O et l’équilibre est stable.
Critère de stabilité en dimension 2 . Supposons que la matrice A est de taille 2
et possède au moins une valeur propre non nulle. Alors pour le système différentiel X
= AX ,
l’équilibre O est stable si et seulement si les coefficients du polynôme caractéristique de A
sont positifs ou nuls.
Démonstration. Pour que l’équilibre (0, 0) soit stable, il faut que les valeurs propres soient
de partie réelle négative ou nulle. Réciproquement, si les valeurs propres λ et μ sont de partie
réelle strictement négative, ou si λ < μ = 0, l’équilibre est stable ; si leur partie réelle est nulle,
alors λ et μ sont imaginaires pures (on a exclu le cas λ = μ = 0) et l’équilibre est stable, car
les coordonnées des solutions sont des fonctions a cos(ωt + ϕ). Ainsi l’équilibre est stable si et
seulement si λ et μ sont de partie réelle négative ou nulle. Le polynôme caractéristique de A
est P = (z−λ)(z−μ) = z
2 + pz + q, où p = −(λ + μ) et q = λμ. Quand les racines sont réelles,
elles sont toutes deux négatives ou nulles à la condition que leur produit q soit positif ou nul
490 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES