de sorte qu’on propose pour ces fonctions des formules du type
x(t) = p 1 e
λ 1 t + p 2 e
λ 2 t
y(t) = q 1 e
λ 1 t + q 2 e
λ 2 t , où λ 1 , λ 2 , p 1 , p 2 , q 1 , q 2 sont des constantes.
Il s’agit bien d’une forme possible pour une solution d’un système différentiel linéaire
homogène.
Procédons comme dans l’exemple page 305. En faisant varier les quantités initiales,
on calcule des valeurs approchées pour les exposants λ 1 et λ 2 et pour les coefficients
p 1 , p 2 , q 1 , q 2 : on peut ainsi obtenir deux fonctions de diffusion X 1 (t) =
x 1 (t)
y 1 (t)
et
X 2 (t) =
x 2 (t)
y 2 (t)
non proportionnelles. Formons la matrice R(t) =
X 1 (t) X 2 (t)
.
Les fonctions X 1 et X 2 sont solutions du système différentiel linéaire ˙
X = AX de
matrice A = ˙
R(t)R(t)
−1 ( ˙
R est la matrice dérivée par rapport à t). Les coefficients
de A doivent être indépendants de t, mais on a intérêt à faire le calcul en prenant
différentes valeurs de t et à retenir un résultat moyen.
® Les coefficients de la matrice A sont des estimations numériques des coefficients
de diffusion a, b, c, d dans (h).
® Une fois calculée la matrice A, on dispose du système différentiel ˙
X = AX qui permet de résoudre le problème des diffusions pour n’importe quelle condition initiale.
® On connaît les valeurs propres de A : ce sont les coefficients de t dans les
exponentielles qui composent X 1 (t) ou X 2 (t).
Par exemple, supposons qu’on a fait les deux estimations
x 1 (t)
y 1 (t)
=
0,148 e
−0,18 t +4,85 e
−0,5 t
0,652 e
−0,18 t +2,34 e
−0,5 t
et
x 2 (t)
y 2 (t)
=
0,528 e
−0,18 t +3,47 e
−0,5 t
2,32 e
−0,18 t +1,68 e
−0,5 t
Formons la matrice R(t)=
x 1 (t) x 2 (t)
y 1 (t) y 2 (t)
et calculons sa dérivée en t=0 par exemple :
R(t) =
0,148 e
−0,18 t +4,85 e
−0,5 t 0,528 e
−0,18 t +3,47 e
−0,5 t
0,652 e
−0,18 t +2,34 e
−0,5 t 0,528 e
−0,18 t +3,47 e
−0,5 t
, ˙
R(0) =
−2,45 −1,83
−1,28 −1,25
La matrice du système est A = ˙
R(0)R(0)
−1 =
−0,54 −0,08
−1,72 −1,42
. Les valeurs propres
de A sont −0,18 et −0,5.
1.3 Principaux types de trajectoires
La forme des trajectoires d’un système différentiel X
= AX dépend des valeurs
propres de A.
® L’origine est un point d’équilibre : il constitue une trajectoire.
® Si λ est une valeur propre réelle avec vecteur propre V , la trajectoire associée à
la solution propre e
λt V est la demi-droite passant par l’origine et dirigée par V .
La demi-droite opposée est la trajectoire associée à la solution −e
λt V .
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 489
x(t) = p 1 e
λ 1 t + p 2 e
λ 2 t
y(t) = q 1 e
λ 1 t + q 2 e
λ 2 t , où λ 1 , λ 2 , p 1 , p 2 , q 1 , q 2 sont des constantes.
Il s’agit bien d’une forme possible pour une solution d’un système différentiel linéaire
homogène.
Procédons comme dans l’exemple page 305. En faisant varier les quantités initiales,
on calcule des valeurs approchées pour les exposants λ 1 et λ 2 et pour les coefficients
p 1 , p 2 , q 1 , q 2 : on peut ainsi obtenir deux fonctions de diffusion X 1 (t) =
x 1 (t)
y 1 (t)
et
X 2 (t) =
x 2 (t)
y 2 (t)
non proportionnelles. Formons la matrice R(t) =
X 1 (t) X 2 (t)
.
Les fonctions X 1 et X 2 sont solutions du système différentiel linéaire ˙
X = AX de
matrice A = ˙
R(t)R(t)
−1 ( ˙
R est la matrice dérivée par rapport à t). Les coefficients
de A doivent être indépendants de t, mais on a intérêt à faire le calcul en prenant
différentes valeurs de t et à retenir un résultat moyen.
® Les coefficients de la matrice A sont des estimations numériques des coefficients
de diffusion a, b, c, d dans (h).
® Une fois calculée la matrice A, on dispose du système différentiel ˙
X = AX qui permet de résoudre le problème des diffusions pour n’importe quelle condition initiale.
® On connaît les valeurs propres de A : ce sont les coefficients de t dans les
exponentielles qui composent X 1 (t) ou X 2 (t).
Par exemple, supposons qu’on a fait les deux estimations
x 1 (t)
y 1 (t)
=
0,148 e
−0,18 t +4,85 e
−0,5 t
0,652 e
−0,18 t +2,34 e
−0,5 t
et
x 2 (t)
y 2 (t)
=
0,528 e
−0,18 t +3,47 e
−0,5 t
2,32 e
−0,18 t +1,68 e
−0,5 t
Formons la matrice R(t)=
x 1 (t) x 2 (t)
y 1 (t) y 2 (t)
et calculons sa dérivée en t=0 par exemple :
R(t) =
0,148 e
−0,18 t +4,85 e
−0,5 t 0,528 e
−0,18 t +3,47 e
−0,5 t
0,652 e
−0,18 t +2,34 e
−0,5 t 0,528 e
−0,18 t +3,47 e
−0,5 t
, ˙
R(0) =
−2,45 −1,83
−1,28 −1,25
La matrice du système est A = ˙
R(0)R(0)
−1 =
−0,54 −0,08
−1,72 −1,42
. Les valeurs propres
de A sont −0,18 et −0,5.
1.3 Principaux types de trajectoires
La forme des trajectoires d’un système différentiel X
= AX dépend des valeurs
propres de A.
® L’origine est un point d’équilibre : il constitue une trajectoire.
® Si λ est une valeur propre réelle avec vecteur propre V , la trajectoire associée à
la solution propre e
λt V est la demi-droite passant par l’origine et dirigée par V .
La demi-droite opposée est la trajectoire associée à la solution −e
λt V .
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 489