® La matrice R(t) est inversible quel que soit t.
® On a R
(t) = AR(t) quel que soit t.
En effet R
(t) =
X
1 (t) X
2 (t) . . . X
n (t)
=
AX 1 (t) AX 2 (t) . . . AX n (t)
= AR(t).
Solution avec condition initiale
En pratique, on cherche souvent la solution X(t) prenant en t = t 0 une valeur vectorielle X(t 0 ) = X 0 donnée. Pour que X(t 0 ) = X 0 , il faut et il suffit que l’on ait
R(t 0 )K = X 0 , ou encore K = R(t 0 )
−1 X 0 ; on a donc X(t) = R(t)R(t 0 )
−1 X 0 .
La solution telle que X(t 0 ) = X 0 est X(t) = R t 0 (t)X 0 , où R t 0 (t) = R(t)R(t 0 )
−1 .
On a R t 0 (t 0 ) = I n . Prenons t 0 = 0 et soit X(t) = R 0 (t)X 0 la solution telle que
X(0) = X 0 . Si a est un nombre réel, la fonction Y (t) = X(t + a) est solution, car
Y
(t)=X
(t+a)=AX(t+a)=AY (t). Puisque Y (0) = X(a), la fonction Y (t) est la solution telle que Y (0) = X(a), donc Y (t) = R 0 (t)X(a). Puisque X(t+a) = R 0 (t+a)X 0 ,
il vient R 0 (t + a)X 0 = R 0 (t)X(a) = R 0 (t)R 0 (a)X 0 et comme cela est vrai quel que
soit le vecteur initial X 0 , on en déduit l’identité matricielle
R 0 (t + a) = R 0 (t)R 0 (a) , quels que soient t et a.
En particulier I n = R 0 (t − t) = R 0 (t)R 0 (−t), donc R 0 (t)
−1 = R 0 (−t). Il s’ensuit que
pour tout entier k positif ou négatif, on a R 0 (kt) =
R 0 (t)
k .
La fonction t → R 0 (t) transforme somme en produit et opposé en inverse, comme
une exponentielle.
Recherche de la matrice du système à partir des solutions
Supposons que le système différentiel X
= AX est de taille n. Si l’on en connaît n solutions indépendantes X 1 , X 2 , . . . , X n , la matrice R(t) dont les colonnes
sont X 1 (t), X 2 (t), . . . X n (t) est une résolvante. Puisque R
(t) = AR(t), on en déduit
A = R
(t)R(t)
−1 .
Application : modélisation d'une diffusion compartimentale
Une substance présente dans deux compartiments tissulaires (1) et (2) peut diffuser
de l’un vers l’autre à un taux proportionnel à la quantité présente dans le compartiment source (loi d’action de masse). Soient x 1 (t) et x 2 (t) les quantités de substance
présentes à l’instant t dans les compartiments (1) et (2). Ces fonctions sont solutions
d’un système différentiel homogène (comparer à l’exercice 11 page 197)
(h)
˙
x = ax + by
˙
y = cx + dy
Dans la pratique, les coefficients de diffusion a,b,c,d sont inconnus. En effectuant dans
les compartiments des dosages à des instants t 1 , t 2 , . . ., on peut faire une estimation
numérique des fonctions x et y. En général, x et y décroissent exponentiellement,
488 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
® On a R
(t) = AR(t) quel que soit t.
En effet R
(t) =
X
1 (t) X
2 (t) . . . X
n (t)
=
AX 1 (t) AX 2 (t) . . . AX n (t)
= AR(t).
Solution avec condition initiale
En pratique, on cherche souvent la solution X(t) prenant en t = t 0 une valeur vectorielle X(t 0 ) = X 0 donnée. Pour que X(t 0 ) = X 0 , il faut et il suffit que l’on ait
R(t 0 )K = X 0 , ou encore K = R(t 0 )
−1 X 0 ; on a donc X(t) = R(t)R(t 0 )
−1 X 0 .
La solution telle que X(t 0 ) = X 0 est X(t) = R t 0 (t)X 0 , où R t 0 (t) = R(t)R(t 0 )
−1 .
On a R t 0 (t 0 ) = I n . Prenons t 0 = 0 et soit X(t) = R 0 (t)X 0 la solution telle que
X(0) = X 0 . Si a est un nombre réel, la fonction Y (t) = X(t + a) est solution, car
Y
(t)=X
(t+a)=AX(t+a)=AY (t). Puisque Y (0) = X(a), la fonction Y (t) est la solution telle que Y (0) = X(a), donc Y (t) = R 0 (t)X(a). Puisque X(t+a) = R 0 (t+a)X 0 ,
il vient R 0 (t + a)X 0 = R 0 (t)X(a) = R 0 (t)R 0 (a)X 0 et comme cela est vrai quel que
soit le vecteur initial X 0 , on en déduit l’identité matricielle
R 0 (t + a) = R 0 (t)R 0 (a) , quels que soient t et a.
En particulier I n = R 0 (t − t) = R 0 (t)R 0 (−t), donc R 0 (t)
−1 = R 0 (−t). Il s’ensuit que
pour tout entier k positif ou négatif, on a R 0 (kt) =
R 0 (t)
k .
La fonction t → R 0 (t) transforme somme en produit et opposé en inverse, comme
une exponentielle.
Recherche de la matrice du système à partir des solutions
Supposons que le système différentiel X
= AX est de taille n. Si l’on en connaît n solutions indépendantes X 1 , X 2 , . . . , X n , la matrice R(t) dont les colonnes
sont X 1 (t), X 2 (t), . . . X n (t) est une résolvante. Puisque R
(t) = AR(t), on en déduit
A = R
(t)R(t)
−1 .
Application : modélisation d'une diffusion compartimentale
Une substance présente dans deux compartiments tissulaires (1) et (2) peut diffuser
de l’un vers l’autre à un taux proportionnel à la quantité présente dans le compartiment source (loi d’action de masse). Soient x 1 (t) et x 2 (t) les quantités de substance
présentes à l’instant t dans les compartiments (1) et (2). Ces fonctions sont solutions
d’un système différentiel homogène (comparer à l’exercice 11 page 197)
(h)
˙
x = ax + by
˙
y = cx + dy
Dans la pratique, les coefficients de diffusion a,b,c,d sont inconnus. En effectuant dans
les compartiments des dosages à des instants t 1 , t 2 , . . ., on peut faire une estimation
numérique des fonctions x et y. En général, x et y décroissent exponentiellement,
488 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES