satisfaisant le système différentiel
˙
x = −(1/4)(x − y)
˙
y = −(1/4)(25x + 7y)
de matrice A =
−1/4 1/4
−25/4 −7/4
.
À la suite d’une perturbation de l’écosystème, un recensement à l’instant t = 0 montre
que x(0) = x 0 et y(0) = 0. Comment vont évoluer x(t) et y(t) ?
Le polynôme caractéristique de A est z
2 +2z+2, les valeurs propres sont −1+i, −1−i
et V =
1
−3 + 4 i
=
1
−3
+i
0
4
est vecteur propre pour −1+i. D’après la formule (∗)
page 484, les solutions sont les fonctions X(t)=R(t)K , où K est un vecteur constant et
R(t) = e
−t
1 0
−3 4
cos t sin t
− sin t cos t
On a R(0) =
1 0
−3 4
donc X(0) =
1 0
−3 4
K . Pour que x(0) = x 0 et y 0 = 0, il
faut prendre le vecteur K =
k 1
k 2
tel que
k 1 = x 0
−3k 1 + 4k 2 = 0
, c’est-à-dire k 1 = x 0
et k 2 = (3/4)x 0 . On obtient ainsi
X(t) = e
−t
1 0
−3 4
cos t sin t
− sin t cos t
x 0
(3/4)x 0
=
x 0
4
e
−t
1 0
−3 4
4 cos t+3 sin t
−4 sin t+3 cos t
x
y
figure 1
c’est-à-dire
x(t)
y(t)
=
x 0
4
e
−t
4 cos t + 3 sin t
−25 sin t
. Les fonctions x(t)
et y(t) tendent vers 0 quand t tend vers l’infini : cela veut dire
que les populations végétales reviennent à leur proportion d’équilibre. La figure 1 montre la trajectoire dans le plan des (x, y) ; sur
la figure 2, on a représenté les graphes des fonctions x(t) et y(t)
(t est en abscisse).
x(t)
y(t)
t
figure 2
Dans la première équation du système différentiel, on voit que ˙
x
s’annule quand x−y = 0 : les valeurs extrêmes de x(t) sont donc
obtenues quand les deux populations ont le même nombre d’individus. Cela correspond, sur la trajectoire, aux points à tangente
verticale : ils sont sur la droite d’équation y = x. De même, les
points de la trajectoire où la tangente est horizontale sont caractérisés par ˙
y = 0 : d’après la seconde équation du système, ils sont
sur la droite d’équation y = −(25/7)x.
1.2 Matrice résolvante
Nous venons de voir que la solution générale d’un système différentiel X
=
AX de taille n est toujours combinaison linéaire de n solutions indépendantes
X 1 (t), X 2 (t), . . . , X n (t). Si l’on dispose ces solutions en colonnes, on obtient la matrice R(t) =
X 1 (t) · · · X n (t)
et la solution générale du système est X(t) = R(t)K ,
où K est un vecteur constant quelconque.
Une telle matrice R(t) s’appelle une matrice résolvante du système.
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 487
˙
x = −(1/4)(x − y)
˙
y = −(1/4)(25x + 7y)
de matrice A =
−1/4 1/4
−25/4 −7/4
.
À la suite d’une perturbation de l’écosystème, un recensement à l’instant t = 0 montre
que x(0) = x 0 et y(0) = 0. Comment vont évoluer x(t) et y(t) ?
Le polynôme caractéristique de A est z
2 +2z+2, les valeurs propres sont −1+i, −1−i
et V =
1
−3 + 4 i
=
1
−3
+i
0
4
est vecteur propre pour −1+i. D’après la formule (∗)
page 484, les solutions sont les fonctions X(t)=R(t)K , où K est un vecteur constant et
R(t) = e
−t
1 0
−3 4
cos t sin t
− sin t cos t
On a R(0) =
1 0
−3 4
donc X(0) =
1 0
−3 4
K . Pour que x(0) = x 0 et y 0 = 0, il
faut prendre le vecteur K =
k 1
k 2
tel que
k 1 = x 0
−3k 1 + 4k 2 = 0
, c’est-à-dire k 1 = x 0
et k 2 = (3/4)x 0 . On obtient ainsi
X(t) = e
−t
1 0
−3 4
cos t sin t
− sin t cos t
x 0
(3/4)x 0
=
x 0
4
e
−t
1 0
−3 4
4 cos t+3 sin t
−4 sin t+3 cos t
x
y
figure 1
c’est-à-dire
x(t)
y(t)
=
x 0
4
e
−t
4 cos t + 3 sin t
−25 sin t
. Les fonctions x(t)
et y(t) tendent vers 0 quand t tend vers l’infini : cela veut dire
que les populations végétales reviennent à leur proportion d’équilibre. La figure 1 montre la trajectoire dans le plan des (x, y) ; sur
la figure 2, on a représenté les graphes des fonctions x(t) et y(t)
(t est en abscisse).
x(t)
y(t)
t
figure 2
Dans la première équation du système différentiel, on voit que ˙
x
s’annule quand x−y = 0 : les valeurs extrêmes de x(t) sont donc
obtenues quand les deux populations ont le même nombre d’individus. Cela correspond, sur la trajectoire, aux points à tangente
verticale : ils sont sur la droite d’équation y = x. De même, les
points de la trajectoire où la tangente est horizontale sont caractérisés par ˙
y = 0 : d’après la seconde équation du système, ils sont
sur la droite d’équation y = −(25/7)x.
1.2 Matrice résolvante
Nous venons de voir que la solution générale d’un système différentiel X
=
AX de taille n est toujours combinaison linéaire de n solutions indépendantes
X 1 (t), X 2 (t), . . . , X n (t). Si l’on dispose ces solutions en colonnes, on obtient la matrice R(t) =
X 1 (t) · · · X n (t)
et la solution générale du système est X(t) = R(t)K ,
où K est un vecteur constant quelconque.
Une telle matrice R(t) s’appelle une matrice résolvante du système.
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 487