et les solutions de (S) sont
x(t)
y(t)
= k 1 e
t
2
1
+ k 2 e
−2t
1
−1
+
1
3
, c’est-à-dire
x(t) = 2k 1 e
t + k 2 e
−2t + 1
y(t) = k 1 e
t
− k 2 e
−2t + 3
Il y a une seule solution de conditions initiales x(t 0 )=x 0 ,y(t 0 )=y 0 : on la trouve en calculant les constantes k 1 et k 2 telles que x 0 =2k 1 e
t 0 +k 2 e
−2t 0 +1 et y 0 =k 1 e
t 0 −k 2 e
−2t 0 +3.
Dessin des trajectoires. Quand t parcourt R, le point M (t) =
x(t), y(t)
décrit
une courbe passant par le point initial M 0 = (x 0 , y 0 ) : c’est la trajectoire de M 0 .
Si la condition initiale est (1,3), la solution est la fonction constante
x(t),y(t)
=(1,3).
La trajectoire du point E = (1, 3) est donc réduite au point E : Le point E est un
équilibre du système.
Pour dessiner les différentes trajectoires, plaçons-nous dans le repère d’origine E et
d’axes dirigés par les vecteurs propres V 1 , V 2 . On a
− − − − − − − − − − − − − →
EM (t) = k 1 e
t V 1 + k 2 e
−2t V 2 et
les coordonnées de M (t) dans ce repère sont α = k 1 e
t , β = k 2 e
−2t .
® Si k 1 = 0 et k 2 = 0, alors M (t) est sur l’axe dirigé par V 2 , β garde le signe de
k 2 et tend vers 0 exponentiellement. Si k 2 > 0, la trajectoire est la demi-droite
d’origine E dirigée par V 2 et parcourue vers E ; si k 2 < 0, c’est la demi-droite
opposée, parcourue également vers E (figure 1).
® Si k 2 = 0 et k 1 = 0, alors β = 0 et α garde le signe de k 1 . Si k 1 > 0, la trajectoire est
la demi-droite d’origine E dirigée par V 1 et parcourue en s’éloignant vers l’infini ;
si k 1 < 0, c’est la demi-droite opposée (figure 1).
® Supposons k 1 k 2 = 0. Pour trouver l’équation des trajectoires, éliminons t entre les
égalités α = k 1 e
t ,β = k 2 e
−2t . Il vient α
2 β = k
2
1 e
2t k 2 e
−2t = k
2
1 k 2 . La courbe d’équation
β = c/α
2 , où c est une constante non nulle, est formée de deux branches ayant
les axes pour asymptotes (figure 2). Chaque branche est une trajectoire (quand t
varie, les coordonnées α et β gardent un signe constant).
E
e
t
t
V 1
e V 1
−
−
e
−2t V 2
e
−2t V 2
Figure 1
E
V 2
V 1
α
β
Figure 2
x
y
des trajectoires
dans le plan x, y
Exemple 4 : un modèle de compétition végétale. Deux espèces végétales
(e 1 ) et (e 2 ) sont en compétition dans un périmètre donné. Le nombre d’individus
de chaque espèce fluctue autour d’une valeur moyenne, avec des écarts x(t) et y(t)
486 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
x(t)
y(t)
= k 1 e
t
2
1
+ k 2 e
−2t
1
−1
+
1
3
, c’est-à-dire
x(t) = 2k 1 e
t + k 2 e
−2t + 1
y(t) = k 1 e
t
− k 2 e
−2t + 3
Il y a une seule solution de conditions initiales x(t 0 )=x 0 ,y(t 0 )=y 0 : on la trouve en calculant les constantes k 1 et k 2 telles que x 0 =2k 1 e
t 0 +k 2 e
−2t 0 +1 et y 0 =k 1 e
t 0 −k 2 e
−2t 0 +3.
Dessin des trajectoires. Quand t parcourt R, le point M (t) =
x(t), y(t)
décrit
une courbe passant par le point initial M 0 = (x 0 , y 0 ) : c’est la trajectoire de M 0 .
Si la condition initiale est (1,3), la solution est la fonction constante
x(t),y(t)
=(1,3).
La trajectoire du point E = (1, 3) est donc réduite au point E : Le point E est un
équilibre du système.
Pour dessiner les différentes trajectoires, plaçons-nous dans le repère d’origine E et
d’axes dirigés par les vecteurs propres V 1 , V 2 . On a
− − − − − − − − − − − − − →
EM (t) = k 1 e
t V 1 + k 2 e
−2t V 2 et
les coordonnées de M (t) dans ce repère sont α = k 1 e
t , β = k 2 e
−2t .
® Si k 1 = 0 et k 2 = 0, alors M (t) est sur l’axe dirigé par V 2 , β garde le signe de
k 2 et tend vers 0 exponentiellement. Si k 2 > 0, la trajectoire est la demi-droite
d’origine E dirigée par V 2 et parcourue vers E ; si k 2 < 0, c’est la demi-droite
opposée, parcourue également vers E (figure 1).
® Si k 2 = 0 et k 1 = 0, alors β = 0 et α garde le signe de k 1 . Si k 1 > 0, la trajectoire est
la demi-droite d’origine E dirigée par V 1 et parcourue en s’éloignant vers l’infini ;
si k 1 < 0, c’est la demi-droite opposée (figure 1).
® Supposons k 1 k 2 = 0. Pour trouver l’équation des trajectoires, éliminons t entre les
égalités α = k 1 e
t ,β = k 2 e
−2t . Il vient α
2 β = k
2
1 e
2t k 2 e
−2t = k
2
1 k 2 . La courbe d’équation
β = c/α
2 , où c est une constante non nulle, est formée de deux branches ayant
les axes pour asymptotes (figure 2). Chaque branche est une trajectoire (quand t
varie, les coordonnées α et β gardent un signe constant).
E
e
t
t
V 1
e V 1
−
−
e
−2t V 2
e
−2t V 2
Figure 1
E
V 2
V 1
α
β
Figure 2
x
y
des trajectoires
dans le plan x, y
Exemple 4 : un modèle de compétition végétale. Deux espèces végétales
(e 1 ) et (e 2 ) sont en compétition dans un périmètre donné. Le nombre d’individus
de chaque espèce fluctue autour d’une valeur moyenne, avec des écarts x(t) et y(t)
486 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES