et les solutions sont les fonctions
X(t) = R(t)K , où K est un vecteur de constantes quelconques.
Les colonnes de R(t) forment une base de l’espace vectoriel des solutions.
Les valeurs propres de A ne sont pas réelles. Soit λ une valeur propre
complexe de A et V un vecteur propre associé. Posons
λ = a + i ω et V = U 1 + i U 2
où a, ω sont des nombres réels, ω = 0 et U 1 , U 2 des vecteurs à coefficients réels. On a
AV = λV = (a + i ω)(U 1 + i U 2 ) = (aU 1 − ωU 2 ) + i (ωU 1 + aU 2 )
donc en séparant partie réelle et partie imaginaire, il vient
AU 1 = aU 1 − ωU 2
,
AU 2 = ωU 1 + aU 2
Supposons A de taille 2.
Les vecteurs U 1 , U 2 étant indépendants (car ω = 0), la matrice de la transformation
Z → AZ dans la base (U 1 ,U 2 ) de R
2 est C =
a ω
−ω a
. Par conséquent, on a l’égalité
C = P
−1 AP , où P =
U 1 U 2
.
En posant X = P Y , on sait que les fonctions Y (t) =
y 1 (t)
y 2 (t)
sont solutions de
Y
= CY , c’est-à-dire
y
1
y
2
= Y
= CY =
a ω
−ω a
y 1
y 2
=
ay 1 + ωy 2
−ωy 1 + ay 2
Introduisons la fonction z = y 1 + i y 2 . L’égalité vectorielle ci-dessus s’écrit
z
= y
1 + i y
2 = (ay 1 + ωy 2 ) + i (−ωy 1 + ay 2 ) = (a − i ω)(y 1 + i y 2 ) = λz
d’où z(t) = ke λt , avec k = k 1 + i k 2 un nombre complexe quelconque (remarque page
444). Puisque e λt = e
at e
− i ωt , On obtient ainsi
z(t)=(k 1 +ik 2 )e
at
cosωt−isinωt
=e
at
(k 1 cosωt+k 2 sinωt)+i(−k 1 sinωt+k 2 cosωt)
y 1 (t)
y 2 (t)
= e
at
cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
k 1
k 2
et en posant K =
k 1
k 2
, il vient finalement
(∗)
X(t) = e
at
U 1 U 2
cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
K = R(t)K
où K est un vecteur constant quelconque. Les colonnes de R(t) forment une base
de l’espace vectoriel des solutions : cet espace est donc de dimension 2.
Supposons maintenant que A est de de taille n quelconque et diagonalisable sur C. Procédons comme ci-dessus pour chaque vecteur propre complexe U 1 + i U 2 , V 1 + i V 2 , etc
écrivons les vecteurs U 1 ,U 2 ,V 1 ,V 2 ,. . . en colonne et complétons par les vecteurs propres
réels : on forme ainsi une matrice carrée P inversible. Par le changement d’inconnue
484 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
X(t) = R(t)K , où K est un vecteur de constantes quelconques.
Les colonnes de R(t) forment une base de l’espace vectoriel des solutions.
Les valeurs propres de A ne sont pas réelles. Soit λ une valeur propre
complexe de A et V un vecteur propre associé. Posons
λ = a + i ω et V = U 1 + i U 2
où a, ω sont des nombres réels, ω = 0 et U 1 , U 2 des vecteurs à coefficients réels. On a
AV = λV = (a + i ω)(U 1 + i U 2 ) = (aU 1 − ωU 2 ) + i (ωU 1 + aU 2 )
donc en séparant partie réelle et partie imaginaire, il vient
AU 1 = aU 1 − ωU 2
,
AU 2 = ωU 1 + aU 2
Supposons A de taille 2.
Les vecteurs U 1 , U 2 étant indépendants (car ω = 0), la matrice de la transformation
Z → AZ dans la base (U 1 ,U 2 ) de R
2 est C =
a ω
−ω a
. Par conséquent, on a l’égalité
C = P
−1 AP , où P =
U 1 U 2
.
En posant X = P Y , on sait que les fonctions Y (t) =
y 1 (t)
y 2 (t)
sont solutions de
Y
= CY , c’est-à-dire
y
1
y
2
= Y
= CY =
a ω
−ω a
y 1
y 2
=
ay 1 + ωy 2
−ωy 1 + ay 2
Introduisons la fonction z = y 1 + i y 2 . L’égalité vectorielle ci-dessus s’écrit
z
= y
1 + i y
2 = (ay 1 + ωy 2 ) + i (−ωy 1 + ay 2 ) = (a − i ω)(y 1 + i y 2 ) = λz
d’où z(t) = ke λt , avec k = k 1 + i k 2 un nombre complexe quelconque (remarque page
444). Puisque e λt = e
at e
− i ωt , On obtient ainsi
z(t)=(k 1 +ik 2 )e
at
cosωt−isinωt
=e
at
(k 1 cosωt+k 2 sinωt)+i(−k 1 sinωt+k 2 cosωt)
y 1 (t)
y 2 (t)
= e
at
cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
k 1
k 2
et en posant K =
k 1
k 2
, il vient finalement
(∗)
X(t) = e
at
U 1 U 2
cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
K = R(t)K
où K est un vecteur constant quelconque. Les colonnes de R(t) forment une base
de l’espace vectoriel des solutions : cet espace est donc de dimension 2.
Supposons maintenant que A est de de taille n quelconque et diagonalisable sur C. Procédons comme ci-dessus pour chaque vecteur propre complexe U 1 + i U 2 , V 1 + i V 2 , etc
écrivons les vecteurs U 1 ,U 2 ,V 1 ,V 2 ,. . . en colonne et complétons par les vecteurs propres
réels : on forme ainsi une matrice carrée P inversible. Par le changement d’inconnue
484 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES