Méthode de résolution
On utilise la technique de diagonalisation ou de trigonalisation expliquée pages 176
à 182. Distinguons plusieurs cas.
A est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. On calcule les valeurs propres λ 1 , . . . , λ n de A et les vecteurs propres associés V 1 , V 2 , . . . , V n .
® Puisque A est diagonalisable, les vecteurs propres forment une base de l’espace
vectoriel R
n , la matrice P dont les colonnes sont V 1 ,. . .,V n est inversible et la matrice P
−1 AP est la matrice diagonale D = diag(λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) dont les coefficients
sont λ 1 , λ 2 , . . . , λ n .
Posons X = P Y . Les solutions du système différentiel Y
= DY sont
Y (t) =
⎡
⎢
⎢
⎣
k 1 e
λ 1 t
k 2 e
λ 2 t
. . .
k n e
λ n t
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
e
λ 1 t
0 · · · 0
0 e
λ 2 t
0
. . .
. . .
. . .
0
0 · · · e
λ n t
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
k 1
k 2
. . .
k n
⎤
⎥
⎥
⎦
où K =
⎡
⎣
k 1
. . .
k n
⎤
⎦ est un vecteur constant quelconque. Pour trouver les solutions du
système X
= AX , on doit effectuer le produit matriciel X = P Y ; calculons
R(t) =
V 1 V 2 · · · V n
⎡
⎢
⎢
⎣
e
λ 1 t
0 · · · 0
0 e
λ 2 t
0
. . .
. . .
. . .
0
0 · · · e
λ n t
⎤
⎥
⎥
⎦ =
e
λ 1 t V 1 e
λ 2 t V 2 · · · e
λ n t V n
Puisque P = [ V 1 · · · V n ], en multipliant à droite par le vecteur K , on obtient
X(t) = P Y (t) = R(t)K = k 1 e
λ 1 t V 1 + k 2 e
λ 2 t V 2 + · · · + k n e
λ n t V n
où k 1 , . . . , k n sont des nombres quelconques.
® Les solutions e
λ 1 t V 1 ,. . .,e
λ n t V n s’appellent des solutions propres : ce sont les colonnes
de la matrice R(t).
® La solution générale est une combinaison linéaire des solutions propres. Puisque les
vecteurs propres V i sont indépendants, les solutions propres sont indépendantes.
Les solutions propres forment une base de l’espace vectoriel des solutions du
système. L’espace des solutions est donc de dimension n.
® La matrice R(t) est inversible quel que soit t.
A est trigonalisable. On peut trouver une matrice inversible P telle que T =
P
−1 AP est triangulaire, ou même triangulaire par blocs ; les coefficients diagonaux
de T sont les valeurs propres de A. On résout le système différentiel Y
= T Y
en prenant les équations successivement, comme dans l’exemple 2 page 482 ; on
trouve n solutions Y 1 ,Y 2 . . .,Y n indépendantes dont les coordonnées sont de la forme
q(t)e
λt , où q(t) est une fonction polynôme et λ une valeur propre de A. On dispose
Y 1 (t),. . .,Y n (t) en colonnes, on calcule la matrice carrée R(t)=P
Y 1 (t) Y 2 (t) · · · Y n (t)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 483
On utilise la technique de diagonalisation ou de trigonalisation expliquée pages 176
à 182. Distinguons plusieurs cas.
A est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. On calcule les valeurs propres λ 1 , . . . , λ n de A et les vecteurs propres associés V 1 , V 2 , . . . , V n .
® Puisque A est diagonalisable, les vecteurs propres forment une base de l’espace
vectoriel R
n , la matrice P dont les colonnes sont V 1 ,. . .,V n est inversible et la matrice P
−1 AP est la matrice diagonale D = diag(λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) dont les coefficients
sont λ 1 , λ 2 , . . . , λ n .
Posons X = P Y . Les solutions du système différentiel Y
= DY sont
Y (t) =
⎡
⎢
⎢
⎣
k 1 e
λ 1 t
k 2 e
λ 2 t
. . .
k n e
λ n t
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
e
λ 1 t
0 · · · 0
0 e
λ 2 t
0
. . .
. . .
. . .
0
0 · · · e
λ n t
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
k 1
k 2
. . .
k n
⎤
⎥
⎥
⎦
où K =
⎡
⎣
k 1
. . .
k n
⎤
⎦ est un vecteur constant quelconque. Pour trouver les solutions du
système X
= AX , on doit effectuer le produit matriciel X = P Y ; calculons
R(t) =
V 1 V 2 · · · V n
⎡
⎢
⎢
⎣
e
λ 1 t
0 · · · 0
0 e
λ 2 t
0
. . .
. . .
. . .
0
0 · · · e
λ n t
⎤
⎥
⎥
⎦ =
e
λ 1 t V 1 e
λ 2 t V 2 · · · e
λ n t V n
Puisque P = [ V 1 · · · V n ], en multipliant à droite par le vecteur K , on obtient
X(t) = P Y (t) = R(t)K = k 1 e
λ 1 t V 1 + k 2 e
λ 2 t V 2 + · · · + k n e
λ n t V n
où k 1 , . . . , k n sont des nombres quelconques.
® Les solutions e
λ 1 t V 1 ,. . .,e
λ n t V n s’appellent des solutions propres : ce sont les colonnes
de la matrice R(t).
® La solution générale est une combinaison linéaire des solutions propres. Puisque les
vecteurs propres V i sont indépendants, les solutions propres sont indépendantes.
Les solutions propres forment une base de l’espace vectoriel des solutions du
système. L’espace des solutions est donc de dimension n.
® La matrice R(t) est inversible quel que soit t.
A est trigonalisable. On peut trouver une matrice inversible P telle que T =
P
−1 AP est triangulaire, ou même triangulaire par blocs ; les coefficients diagonaux
de T sont les valeurs propres de A. On résout le système différentiel Y
= T Y
en prenant les équations successivement, comme dans l’exemple 2 page 482 ; on
trouve n solutions Y 1 ,Y 2 . . .,Y n indépendantes dont les coordonnées sont de la forme
q(t)e
λt , où q(t) est une fonction polynôme et λ une valeur propre de A. On dispose
Y 1 (t),. . .,Y n (t) en colonnes, on calcule la matrice carrée R(t)=P
Y 1 (t) Y 2 (t) · · · Y n (t)
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 483