Exemple 2. Posons A =
a p
0 a
. Le système différentiel X
= AX s’écrit
x
1 = ax 1 + px 2
x
2 = ax 2
Commençons par la seconde équation qui n’a qu’une fonction inconnue. Ses solutions
sont x 2 (t)=k 2 e
at , où k 2 est quelconque. En reportant dans la première équation, il vient
(∗)
x
1 = ax 1 + pk 2 e
at
une équation du premier ordre avec second membre. La solution générale de l’équation homogène est k 1 e
at . Cherchons une solution particulière de (∗) sous la forme
s(t) = c(t)e
at , conformément à la méthode de variation de la constante (page 444).
En reportant s(t) dans (∗), il vient
ac(t)e
at + c
(t)e
at = ac(t)e
at + pk 2 e
at
et après simplification, on obtient c
(t) = pk 2 , dont une solution est c(t) = pk 2 t.
La fonction s(t)=pk 2 te
at est donc une solution de (∗). On en déduit que les solutions
de (∗) sont les fonctions
x 1 (t) = k 1 e
at + k 2 pte
at , où k 1 est une constante quelconque.
Finalement, les solutions de X
= AX sont les fonctions
X(t) =
k 1 e
at + k 2 pte
at
k 2 e
at
=
e
at pte
at
0 e
at
k 1
k 2
où k 1 et k 2 sont des constantes. On a X(0) =
k 1
k 2
, donc X(t) est déterminée par
sa valeur en t = 0.
Ces exemples montrent que si la matrice A est diagonale ou triangulaire, le système se
résout en prenant les équations une à une : on commence par l’équation qui ne contient
qu’une inconnue et l’on substitue les solutions dans les autres, de proche en proche.
Pour résoudre un système homogène général, nous allons nous ramener au cas d’une
matrice diagonale ou triangulaire.
Faisons un changement d’inconnue en posant X = P Y , où P est une matrice carrée
à coefficients constants. On suppose P inversible, de manière à pouvoir exprimer
Y = P
−1 X au moyen de X .
Chaque coefficient x i (t) de X(t) est une combinaison p 1 y 1 (t)+p 2 y 2 (t)+· · ·+p n y n (t),
où [ p 1 p 2 · · · p n ] est la i-ème ligne de P . On a x
i (t)=p 1 y
1 (t)+p 2 y
2 (t)+· · ·+p n y
n (t),
donc X
(t) = P Y
(t). Il vient
X
= AX ⇐⇒ P Y
= AP Y ⇐⇒ Y
= P
−1 AP Y
Pour que la fonction X(t) = P Y (t) soit solution de X
= AX , il faut et
il suffit que Y (t) soit solution du système différentiel Y
= (P
−1 AP )Y .
482 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
a p
0 a
. Le système différentiel X
= AX s’écrit
x
1 = ax 1 + px 2
x
2 = ax 2
Commençons par la seconde équation qui n’a qu’une fonction inconnue. Ses solutions
sont x 2 (t)=k 2 e
at , où k 2 est quelconque. En reportant dans la première équation, il vient
(∗)
x
1 = ax 1 + pk 2 e
at
une équation du premier ordre avec second membre. La solution générale de l’équation homogène est k 1 e
at . Cherchons une solution particulière de (∗) sous la forme
s(t) = c(t)e
at , conformément à la méthode de variation de la constante (page 444).
En reportant s(t) dans (∗), il vient
ac(t)e
at + c
(t)e
at = ac(t)e
at + pk 2 e
at
et après simplification, on obtient c
(t) = pk 2 , dont une solution est c(t) = pk 2 t.
La fonction s(t)=pk 2 te
at est donc une solution de (∗). On en déduit que les solutions
de (∗) sont les fonctions
x 1 (t) = k 1 e
at + k 2 pte
at , où k 1 est une constante quelconque.
Finalement, les solutions de X
= AX sont les fonctions
X(t) =
k 1 e
at + k 2 pte
at
k 2 e
at
=
e
at pte
at
0 e
at
k 1
k 2
où k 1 et k 2 sont des constantes. On a X(0) =
k 1
k 2
, donc X(t) est déterminée par
sa valeur en t = 0.
Ces exemples montrent que si la matrice A est diagonale ou triangulaire, le système se
résout en prenant les équations une à une : on commence par l’équation qui ne contient
qu’une inconnue et l’on substitue les solutions dans les autres, de proche en proche.
Pour résoudre un système homogène général, nous allons nous ramener au cas d’une
matrice diagonale ou triangulaire.
Faisons un changement d’inconnue en posant X = P Y , où P est une matrice carrée
à coefficients constants. On suppose P inversible, de manière à pouvoir exprimer
Y = P
−1 X au moyen de X .
Chaque coefficient x i (t) de X(t) est une combinaison p 1 y 1 (t)+p 2 y 2 (t)+· · ·+p n y n (t),
où [ p 1 p 2 · · · p n ] est la i-ème ligne de P . On a x
i (t)=p 1 y
1 (t)+p 2 y
2 (t)+· · ·+p n y
n (t),
donc X
(t) = P Y
(t). Il vient
X
= AX ⇐⇒ P Y
= AP Y ⇐⇒ Y
= P
−1 AP Y
Pour que la fonction X(t) = P Y (t) soit solution de X
= AX , il faut et
il suffit que Y (t) soit solution du système différentiel Y
= (P
−1 AP )Y .
482 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES