Une solution du système différentiel X
= AX + B(t) est une fonction X(t) à valeurs
vectorielles telle que X
(t) = AX(t) + B(t) pour tout t.
® Supposons que X 1 (t) et X 2 (t) sont des solutions du système différentiel homogène
X
= AX et formons la combinaison linéaire Y (t) = α 1 X 1 (t) + α 2 X 2 (t), où α 1 , α 2
sont des nombres. Alors on a X
1 (t) = AX 1 (t), X
2 (t) = AX 2 (t) et en ajoutant il vient
Y
= α 1 X
1 + α 2 X
2 = α 1 AX 1 + α 2 AX 2 = A
α 1 X 1 + α 2 X 2
= AY
Pour un système différentiel linéaire homogène X
= AX , toute
combinaison linéaire de solutions est encore solution.
® Supposons que S(t) est une solution du système différentiel X
= AX + B(t).
Puisque S
(t) = AS(t) + B(t), une fonction X(t) est solution si et seulement si
X
− S
=
AX + B(t)
−
AS + B(t)
⇐⇒ (X − S)
= AX − AS = A(X − S)
Ainsi, pour que X(t) soit solution de X
= AX + B(t), il faut et il suffit que la
fonction X(t) − S(t) soit solution du système homogène associé.
Propriétés générales des solutions
Pour le système homogène X
= AX : la fonction nulle est solution et toute combinaison linéaire de solutions est solution ; l’ensemble des solutions est un espace vectoriel.
Pour le système complet X
= AX + B(t) : si S(t) est une solution de X
=
AX + B(t), alors toutes les solutions sont de la forme X(t) = X 0 (t) + S(t), où X 0 (t)
est une solution quelconque du système homogène X
= AX .
La différence de deux solutions est donc une solution du système homogène.
Pour résoudre le système différentiel, il faut en trouver une solution particulière et
résoudre le système homogène associé.
1.1 Résolution du système homogène X
= AX
Exemple 1. Prenons A =
a 0
0 b
. Le système différentiel X
= AX s’écrit
x
1 = ax 1
x
2 = bx 2
La première équation est une équation différentielle de la seule fonction inconnue x 1 .
Les solutions sont x 1 (t) = k 1 e
at , où k 1 est une constante quelconque. De même, les
solutions de la seconde équation sont les fonctions x 2 (t)=k 2 e
bt , où k 2 est quelconque.
Les solutions du système sont les fonctions
X(t) =
k 1 e
at
k 2 e
bt
=
e
at 0
0 e
bt
k 1
k 2
où k 1 et k 2 sont des constantes. On a X(0) =
k 1
k 2
, c’est-à-dire x 1 (0) = k 1 et
x 2 (0) = k 2 : la solution est donc entièrement déterminée par sa valeur en t = 0.
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 481
= AX + B(t) est une fonction X(t) à valeurs
vectorielles telle que X
(t) = AX(t) + B(t) pour tout t.
® Supposons que X 1 (t) et X 2 (t) sont des solutions du système différentiel homogène
X
= AX et formons la combinaison linéaire Y (t) = α 1 X 1 (t) + α 2 X 2 (t), où α 1 , α 2
sont des nombres. Alors on a X
1 (t) = AX 1 (t), X
2 (t) = AX 2 (t) et en ajoutant il vient
Y
= α 1 X
1 + α 2 X
2 = α 1 AX 1 + α 2 AX 2 = A
α 1 X 1 + α 2 X 2
= AY
Pour un système différentiel linéaire homogène X
= AX , toute
combinaison linéaire de solutions est encore solution.
® Supposons que S(t) est une solution du système différentiel X
= AX + B(t).
Puisque S
(t) = AS(t) + B(t), une fonction X(t) est solution si et seulement si
X
− S
=
AX + B(t)
−
AS + B(t)
⇐⇒ (X − S)
= AX − AS = A(X − S)
Ainsi, pour que X(t) soit solution de X
= AX + B(t), il faut et il suffit que la
fonction X(t) − S(t) soit solution du système homogène associé.
Propriétés générales des solutions
Pour le système homogène X
= AX : la fonction nulle est solution et toute combinaison linéaire de solutions est solution ; l’ensemble des solutions est un espace vectoriel.
Pour le système complet X
= AX + B(t) : si S(t) est une solution de X
=
AX + B(t), alors toutes les solutions sont de la forme X(t) = X 0 (t) + S(t), où X 0 (t)
est une solution quelconque du système homogène X
= AX .
La différence de deux solutions est donc une solution du système homogène.
Pour résoudre le système différentiel, il faut en trouver une solution particulière et
résoudre le système homogène associé.
1.1 Résolution du système homogène X
= AX
Exemple 1. Prenons A =
a 0
0 b
. Le système différentiel X
= AX s’écrit
x
1 = ax 1
x
2 = bx 2
La première équation est une équation différentielle de la seule fonction inconnue x 1 .
Les solutions sont x 1 (t) = k 1 e
at , où k 1 est une constante quelconque. De même, les
solutions de la seconde équation sont les fonctions x 2 (t)=k 2 e
bt , où k 2 est quelconque.
Les solutions du système sont les fonctions
X(t) =
k 1 e
at
k 2 e
bt
=
e
at 0
0 e
bt
k 1
k 2
où k 1 et k 2 sont des constantes. On a X(0) =
k 1
k 2
, c’est-à-dire x 1 (0) = k 1 et
x 2 (0) = k 2 : la solution est donc entièrement déterminée par sa valeur en t = 0.
Chapitre 16 – SYST `
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ERENTIELS – 481