B1
k 1 , 2
k
1 , 3
B2
k 2 , 1
k 2,3
B3
k
3 , 1
k 3,2
Ces trois formes coexistent et s’échangent au cours de réactions équilibrées, les
concentrations [B 1 ], [B 2 ], [B 3 ] variant au cours du temps selon les équations suivantes :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d[B 1 ]
dt
= −(k 1,2 +k 1,3 )[B 1 ] + k 2,1 [B 2 ] + k 3,1 [B 3 ]
d[B 2 ]
dt
= k 1,2 [B 1 ] − (k 2,1 +k 2,3 )[B 2 ] + k 3,2 [B 3 ]
d[B 3 ]
dt
= k 1,3 [B 1 ] + k 2,3 [B 2 ] − (k 3,1 +k 3,2 )[B 3 ]
où les nombres positifs k i,j sont constants à température et pression données. En introduisant le vecteur d’état X =
⎡
⎣
[B 1 ]
[B 2 ]
[B 3 ]
⎤
⎦ et la matrice du système, les équations s’écrivent
dX
dt
= AX , où A =
−k 1,2 −k 1,3
k 2,1
k 3,1
k 1,2
−k 2,1 −k 2,3
k 3,2
k 1,3
k 2,3
−k 3,1 −k 3,2
.
Les proportions dans le mélange évoluent vers un équilibre caractérisé par
d[B 1 ]
dt
=
d[B 2 ]
dt
=
d[B 3 ]
dt
= 0. Remarquons que la somme [B 1 ] + [B 2 ] + [B 3 ] des concentrations
est constante, car en ajoutant les lignes du système, il vient
d[B 1 ]
dt
+
d[B 2 ]
dt
+
d[B 3 ]
dt
= 0.
Dans les exemples précédents, les systèmes différentiels introduits sont de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n + b 1 (t)
x
2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n + b 2 (t)
. . .
. . .
x
n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n + b n (t)
où les coefficients a ij sont des constantes et où b 1 (t), . . . , b n (t) sont des fonctions.
En posant
X =
⎡
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x n
⎤
⎥
⎦ , A =
⎡
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. . .
. . .
. . .
a n1 a n2 · · · a nn
⎤
⎥
⎦ et B(t) =
⎡
⎢
⎢
⎣
b 1 (t)
b 2 (t)
. . .
b n (t)
⎤
⎥
⎥
⎦ ,
le système s’écrit X
= AX + B(t).
Définitions
Un système différentiel de la forme X
= AX + B(t), où A est une matrice carrée
à coefficients constants et où B(t) est un vecteur de fonctions, s’appelle un système
différentiel linéaire à coefficients constants. La matrice A est la matrice du système et la
fonction t → B(t) est le second membre. Si B(t) = 0 quel que soit t, le système est dit
homogène. Le système différentiel X
= AX s’appelle le système homogène associé.
480 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
k 1 , 2
k
1 , 3
B2
k 2 , 1
k 2,3
B3
k
3 , 1
k 3,2
Ces trois formes coexistent et s’échangent au cours de réactions équilibrées, les
concentrations [B 1 ], [B 2 ], [B 3 ] variant au cours du temps selon les équations suivantes :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d[B 1 ]
dt
= −(k 1,2 +k 1,3 )[B 1 ] + k 2,1 [B 2 ] + k 3,1 [B 3 ]
d[B 2 ]
dt
= k 1,2 [B 1 ] − (k 2,1 +k 2,3 )[B 2 ] + k 3,2 [B 3 ]
d[B 3 ]
dt
= k 1,3 [B 1 ] + k 2,3 [B 2 ] − (k 3,1 +k 3,2 )[B 3 ]
où les nombres positifs k i,j sont constants à température et pression données. En introduisant le vecteur d’état X =
⎡
⎣
[B 1 ]
[B 2 ]
[B 3 ]
⎤
⎦ et la matrice du système, les équations s’écrivent
dX
dt
= AX , où A =
−k 1,2 −k 1,3
k 2,1
k 3,1
k 1,2
−k 2,1 −k 2,3
k 3,2
k 1,3
k 2,3
−k 3,1 −k 3,2
.
Les proportions dans le mélange évoluent vers un équilibre caractérisé par
d[B 1 ]
dt
=
d[B 2 ]
dt
=
d[B 3 ]
dt
= 0. Remarquons que la somme [B 1 ] + [B 2 ] + [B 3 ] des concentrations
est constante, car en ajoutant les lignes du système, il vient
d[B 1 ]
dt
+
d[B 2 ]
dt
+
d[B 3 ]
dt
= 0.
Dans les exemples précédents, les systèmes différentiels introduits sont de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n + b 1 (t)
x
2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n + b 2 (t)
. . .
. . .
x
n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n + b n (t)
où les coefficients a ij sont des constantes et où b 1 (t), . . . , b n (t) sont des fonctions.
En posant
X =
⎡
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x n
⎤
⎥
⎦ , A =
⎡
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. . .
. . .
. . .
a n1 a n2 · · · a nn
⎤
⎥
⎦ et B(t) =
⎡
⎢
⎢
⎣
b 1 (t)
b 2 (t)
. . .
b n (t)
⎤
⎥
⎥
⎦ ,
le système s’écrit X
= AX + B(t).
Définitions
Un système différentiel de la forme X
= AX + B(t), où A est une matrice carrée
à coefficients constants et où B(t) est un vecteur de fonctions, s’appelle un système
différentiel linéaire à coefficients constants. La matrice A est la matrice du système et la
fonction t → B(t) est le second membre. Si B(t) = 0 quel que soit t, le système est dit
homogène. Le système différentiel X
= AX s’appelle le système homogène associé.
480 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES