pelons que le vecteur dérivé ˙
X(t) s’obtient en dérivant coordonnée par coordonnée.
En utilisant la notation matricielle, le système différentiel ci-dessus s’écrit
⎡
⎣
˙
x 1 (t)
˙
x 2 (t)
˙
v 1 (t)
˙
v 2 (t)
⎤
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
10
0
0
01
−(k 1 +k 2 )/m 1
k 2 /m 1
0 0
k 2 /m 2
−(k 2 +k 3 )/m 2 0 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
v 1 (t)
v 2 (t)
⎤
⎦ ou encore
(S)
˙
X = AX , avec A =
⎡
⎢
⎣
0
0
10
0
0
01
−(k 1 +k 2 )/m 1
k 2 /m 1
0 0
k 2 /m 2
−(k 2 +k 3 )/m 2 0 0
⎤
⎥
⎦
La matrice A s’appelle la matrice du système. Le système différentiel (1) est d’ordre
2, car il fait intervenir des dérivées secondes, mais le système différentiel (S), de
taille 4, ne comporte plus que des dérivées premières.
Exemple 2. En Économie, on distingue deux types de taux d’intérêt : un taux
à court terme c et un taux à long terme . Tout changement de valeur pour l’un
des taux a une répercussion sur l’autre. Voici un modèle simple pour les variations
conjointes de c et au cours du temps :
˙
c = a(r − c − )
˙
= b(r − c − )
ou encore
˙
c
˙
=
−a −a
−b −b
c
+
ar
br
Les constantes r, a, b sont positives : a et b sont des vitesses d’évolution pour les
taux c et ; r s’interprète comme la valeur limite de c + (exercice 1). Introduisons
le vecteur d’état X(t) =
c(t)
(t)
, la matrice A =
−a −a
−b −b
du système et le vecteur
constant B =
ar
br
. Le système s’écrit ˙
X = AX + B et le vecteur B s’appelle le
second membre du système.
Exemple 3. Le butène, un corps chimique de formule C4 H8 , se présente sous trois
formes isomères B1, B2, B3, correspondant à différentes dispositions des atomes
dans la molécule.
trans-butène-2
H
C H3
C
C
C H3
H
cis-butène-2
C H3
C H3
H
H
C
C
butène-1 C H2
C H
C H2
C H3
:
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 479