de t : on dit que le système est autonome. Plus généralement, un système différentiel
est autonome si la relation entre fonctions et dérivées y est indépendante du temps.
Comment rendre autonome un système différentiel
Considérons par exemple le système non autonome
(1)
x
= f (t, x, y)
y
= g(t, x, y)
En plus des variables d’état x et y, introduisons une nouvelle variable d’état τ et
considérons le système différentiel
(2)
⎧
⎨
⎩
τ
= 1
x
= f (τ, x, y)
y
= g(τ, x, y)
C’est un système autonome à trois fonctions inconnues τ (t), x(t) et y(t). La première équation donne τ (t) = t + c, où c est une constante. Si l’on résout (2) avec
la condition initiale τ (t 0 ) = t 0 , alors on a τ (t) = t quel que soit t et les fonctions
x(t) et y(t) sont solutions de (1). Tout système différentiel peut de cette façon se
ramener à un système autonome de taille un de plus.
1. Systèmes différentiels linéaires
Exemple 1.
m 1
m 2
r 1
r 3
r 2
x 1
x 2
Dans le dispositif représenté ci-contre, les masses m 1 , m 2 sont fixées à
des supports par l’intermédiaire de ressorts r 1 ,r 3 et reliées entre-elles
par le ressort r 2 ; l’ensemble est mobile verticalement. Repérons la
position des masses le long d’un axe vertical en appelant x 1 , x 2
l’écart de chacune par rapport à sa position d’équilibre. Les équations
différentielles du mouvement sont
(1)
m 1 ¨
x 1 = −k 1 x 1 + k 2 (x 2 −x 1 )
m 2 ¨
x 2 = −k 2 (x 2 −x 1 ) − k 3 x 2
où k 1 , k 2 , k 3 sont les raideurs des ressorts. En posant v 1 = ˙
x 1 et v 2 = ˙
x 2 , ce système
devient
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x 1 = v 1
˙
x 2 = v 2
˙
v 1 = −
(k 1 +k 2 )/m 1
x 1 + (k 2 /m 1 )x 2
˙
v 2 = (k 2 /m 2 )x 1 −
(k 2 +k 3 )/m 2
x 2
Une solution
x 1 (t), x 2 (t), v 1 (t), v 2 (t)
est représenté par un point mobile dans l’espace des quatre coordonnées (x 1 , x 2 , v 1 , v 2 ) ; cet espace, appelé l’espace des phases du
système, est de dimension 4. Une solution définit une courbe paramétrée, donc une
trajectoire, dans l’espace des phases. Introduisons le vecteur X(t) =
⎡
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
v 1 (t)
v 2 (t)
⎤
⎦ et rap478 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES
est autonome si la relation entre fonctions et dérivées y est indépendante du temps.
Comment rendre autonome un système différentiel
Considérons par exemple le système non autonome
(1)
x
= f (t, x, y)
y
= g(t, x, y)
En plus des variables d’état x et y, introduisons une nouvelle variable d’état τ et
considérons le système différentiel
(2)
⎧
⎨
⎩
τ
= 1
x
= f (τ, x, y)
y
= g(τ, x, y)
C’est un système autonome à trois fonctions inconnues τ (t), x(t) et y(t). La première équation donne τ (t) = t + c, où c est une constante. Si l’on résout (2) avec
la condition initiale τ (t 0 ) = t 0 , alors on a τ (t) = t quel que soit t et les fonctions
x(t) et y(t) sont solutions de (1). Tout système différentiel peut de cette façon se
ramener à un système autonome de taille un de plus.
1. Systèmes différentiels linéaires
Exemple 1.
m 1
m 2
r 1
r 3
r 2
x 1
x 2
Dans le dispositif représenté ci-contre, les masses m 1 , m 2 sont fixées à
des supports par l’intermédiaire de ressorts r 1 ,r 3 et reliées entre-elles
par le ressort r 2 ; l’ensemble est mobile verticalement. Repérons la
position des masses le long d’un axe vertical en appelant x 1 , x 2
l’écart de chacune par rapport à sa position d’équilibre. Les équations
différentielles du mouvement sont
(1)
m 1 ¨
x 1 = −k 1 x 1 + k 2 (x 2 −x 1 )
m 2 ¨
x 2 = −k 2 (x 2 −x 1 ) − k 3 x 2
où k 1 , k 2 , k 3 sont les raideurs des ressorts. En posant v 1 = ˙
x 1 et v 2 = ˙
x 2 , ce système
devient
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x 1 = v 1
˙
x 2 = v 2
˙
v 1 = −
(k 1 +k 2 )/m 1
x 1 + (k 2 /m 1 )x 2
˙
v 2 = (k 2 /m 2 )x 1 −
(k 2 +k 3 )/m 2
x 2
Une solution
x 1 (t), x 2 (t), v 1 (t), v 2 (t)
est représenté par un point mobile dans l’espace des quatre coordonnées (x 1 , x 2 , v 1 , v 2 ) ; cet espace, appelé l’espace des phases du
système, est de dimension 4. Une solution définit une courbe paramétrée, donc une
trajectoire, dans l’espace des phases. Introduisons le vecteur X(t) =
⎡
⎣
x 1 (t)
x 2 (t)
v 1 (t)
v 2 (t)
⎤
⎦ et rap478 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS LIN ´
EAIRES