Chapitre 16
Systèmes différentiels
Quand les variations d’une quantité x dépendent de sa valeur, son comportement
est régi par une équation différentielle x
= f (t, x). Lorsque plusieurs quantités x,
y sont en jeu et que chacune influe aussi sur le taux de variation de l’autre, les
équations sont de la forme
x
= f (t, x, y)
y
= g(t, x, y)
, où f et g sont des fonctions : c’est un
système différentiel. Une solution est constituée de deux fonctions x(t) , y(t) vérifiant
x
(t) = f
t, x(t), y(t)
et y
(t) = g
t, x(t), y(t)
pour tout t.
Exemple : proies et prédateurs. En l’absence de prédateurs, une espèce animale
(A) se reproduit a un taux proportionnel au nombre d’individus (loi de Malthus) :
cela veut dire que si x est le nombre d’individus à un certain instant t, la vitesse ˙
x
d’accroissement de population est ax, où a est une constante positive. La fonction x(t)
est solution de l’équation différentielle ˙
x=ax : si x 0 est le nombre d’individus à l’instant
t = 0, la solution x 0 e
at croît exponentiellement vers l’infini, ce qui n’est pas réaliste.
Supposons que l’espèce (A) est soumise à des prédateurs (P ) en nombre y(t) et
faisons des hypothèses vraisemblables sur le comportement de ces populations.
i) La mortalité chez (A) due à la prédation est de la forme bxy, proportionnelle au
nombre xy de contacts entre les individus.
ii) Le taux de croissance des prédateurs est proportionnel à leur nombre y et à la
quantité de proies, donc de la forme d xy, où d est une constante.
iii) La surpopulation des prédateurs est évitée grâce à un taux de mortalité cy proportionnel à leur nombre (autolimitation due à la compétition pour la nourriture).
Cela conduit au système différentiel suivant :
˙
x = ax−bxy
˙
y = −cy + dxy
, où les constantes a, b, c, d sont positives.
Système différentiel autonome. Dans l’exemple précédent, le système différentiel s’écrit
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
, où les expressions f (x, y) et g(x, y) ne dépendent pas
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 477
Systèmes différentiels
Quand les variations d’une quantité x dépendent de sa valeur, son comportement
est régi par une équation différentielle x
= f (t, x). Lorsque plusieurs quantités x,
y sont en jeu et que chacune influe aussi sur le taux de variation de l’autre, les
équations sont de la forme
x
= f (t, x, y)
y
= g(t, x, y)
, où f et g sont des fonctions : c’est un
système différentiel. Une solution est constituée de deux fonctions x(t) , y(t) vérifiant
x
(t) = f
t, x(t), y(t)
et y
(t) = g
t, x(t), y(t)
pour tout t.
Exemple : proies et prédateurs. En l’absence de prédateurs, une espèce animale
(A) se reproduit a un taux proportionnel au nombre d’individus (loi de Malthus) :
cela veut dire que si x est le nombre d’individus à un certain instant t, la vitesse ˙
x
d’accroissement de population est ax, où a est une constante positive. La fonction x(t)
est solution de l’équation différentielle ˙
x=ax : si x 0 est le nombre d’individus à l’instant
t = 0, la solution x 0 e
at croît exponentiellement vers l’infini, ce qui n’est pas réaliste.
Supposons que l’espèce (A) est soumise à des prédateurs (P ) en nombre y(t) et
faisons des hypothèses vraisemblables sur le comportement de ces populations.
i) La mortalité chez (A) due à la prédation est de la forme bxy, proportionnelle au
nombre xy de contacts entre les individus.
ii) Le taux de croissance des prédateurs est proportionnel à leur nombre y et à la
quantité de proies, donc de la forme d xy, où d est une constante.
iii) La surpopulation des prédateurs est évitée grâce à un taux de mortalité cy proportionnel à leur nombre (autolimitation due à la compétition pour la nourriture).
Cela conduit au système différentiel suivant :
˙
x = ax−bxy
˙
y = −cy + dxy
, où les constantes a, b, c, d sont positives.
Système différentiel autonome. Dans l’exemple précédent, le système différentiel s’écrit
x
= f (x, y)
y
= g(x, y)
, où les expressions f (x, y) et g(x, y) ne dépendent pas
Chapitre 16 – SYST `
EMES DIFF ´
ERENTIELS – 477