d) Supposons par exemple que le diamètre initial de la bulle est 1 mètre et sa
pression initiale de 10
3 atmosphères (une atmosphère vaut à peu près 10
3 hPa).
Montrer que, dans l’eau, le rayon de la bulle double en 1/250 seconde environ
et est multiplié par 5 en 1/30 seconde environ.
Ce modèle est utilisé aussi bien en Astrophysique que dans le cas de l’explosion d’une
mine sous-marine ou dans les dispositifs de sécurité pour la soudure à l’arc en plongée.
10.
x
y
y(x)
a
A
B
b
y A
y B
Surface de révolution d'aire minimum. Parmi toutes les
courbes y(x) joignant deux points A = (a, y A ) et (b, y B ),
cherchons celle qui engendre une surface d’aire minimum
quand on la fait tourner autour de l’axe Ox.
Pour une courbe située dans le demi-plan y > 0, l’aire
en question est J(y) = 2π
b
a
y
1+y 2 dx. Supposons que
y(x) est une solution du problème.
a) En remarquant que F (y,p) = y
1+p 2 ne dépend pas de
x, montrer que l’équation d’Euler conduit à la relation y
1+y 2 − y
yy
1+y 2
= c,
où c est une constante.
b) En déduire que l’on a y(x) = c
1+y 2 . En supposant y B > y A , montrer que
y
= 1
c
y 2 −c 2 et x + d = c ln
y +
y 2 −c 2
c
.
c) Montrer que si l’on pose u = 1
c
(y +
y 2 −c 2 ), alors 1
u
= 1
c
(y −
y 2 −c 2 ). En déduire y(x) = c
2
e
(x+d)/c + e
−(x+d)/c
= c
2
ch
x+d
c
, où ch est la fonction cosinus
hyperbolique (page 268).
On doit choisir les constantes de manière que y(a) = y A et y(b) = y B . Si ces conditions déterminent c et d de manière unique, alors le problème a une seule solution.
S’il n’y a pas de constantes c et d possibles, il n’y a pas de solution.
11
@ . Une équation autonome. Soit l’équation différentielle (∗) x
= x
2
− x
3 .
a) Quelles sont les solutions constantes ?
b) Quel est le sens de variation de la solution telle que x(0) = 1/2 ? Quel est son
intervalle de définition ? Quelles sont ses limites aux bornes de cet intervalle ?
c) Soit s la solution de (∗) telle que s(0) = 2. Quelle est la relation entre s(t) et t ?
(trouver un polynôme U de degré 1 et un nombre p tels que U
x
2
+
p
1−x
=
1
x
2 −x
3
et utiliser la méthode page 323 : la relation est ln
s(t)
s(t)−1
− 1
s(t)
= t + ln 2 − 1
2
)
d) Montrer que l’intervalle de définition de s est de la forme ]a, +∞[ et calculer le
nombre a. Montrer que s est décroissante et que lim
t→+∞
s(t) = 1.
e) Montrer que s(t) ∼
1
2(t−a)
quand t tend vers a (utiliser (c)).
476 – EXERCICES
pression initiale de 10
3 atmosphères (une atmosphère vaut à peu près 10
3 hPa).
Montrer que, dans l’eau, le rayon de la bulle double en 1/250 seconde environ
et est multiplié par 5 en 1/30 seconde environ.
Ce modèle est utilisé aussi bien en Astrophysique que dans le cas de l’explosion d’une
mine sous-marine ou dans les dispositifs de sécurité pour la soudure à l’arc en plongée.
10.
x
y
y(x)
a
A
B
b
y A
y B
Surface de révolution d'aire minimum. Parmi toutes les
courbes y(x) joignant deux points A = (a, y A ) et (b, y B ),
cherchons celle qui engendre une surface d’aire minimum
quand on la fait tourner autour de l’axe Ox.
Pour une courbe située dans le demi-plan y > 0, l’aire
en question est J(y) = 2π
b
a
y
1+y 2 dx. Supposons que
y(x) est une solution du problème.
a) En remarquant que F (y,p) = y
1+p 2 ne dépend pas de
x, montrer que l’équation d’Euler conduit à la relation y
1+y 2 − y
yy
1+y 2
= c,
où c est une constante.
b) En déduire que l’on a y(x) = c
1+y 2 . En supposant y B > y A , montrer que
y
= 1
c
y 2 −c 2 et x + d = c ln
y +
y 2 −c 2
c
.
c) Montrer que si l’on pose u = 1
c
(y +
y 2 −c 2 ), alors 1
u
= 1
c
(y −
y 2 −c 2 ). En déduire y(x) = c
2
e
(x+d)/c + e
−(x+d)/c
= c
2
ch
x+d
c
, où ch est la fonction cosinus
hyperbolique (page 268).
On doit choisir les constantes de manière que y(a) = y A et y(b) = y B . Si ces conditions déterminent c et d de manière unique, alors le problème a une seule solution.
S’il n’y a pas de constantes c et d possibles, il n’y a pas de solution.
11
@ . Une équation autonome. Soit l’équation différentielle (∗) x
= x
2
− x
3 .
a) Quelles sont les solutions constantes ?
b) Quel est le sens de variation de la solution telle que x(0) = 1/2 ? Quel est son
intervalle de définition ? Quelles sont ses limites aux bornes de cet intervalle ?
c) Soit s la solution de (∗) telle que s(0) = 2. Quelle est la relation entre s(t) et t ?
(trouver un polynôme U de degré 1 et un nombre p tels que U
x
2
+
p
1−x
=
1
x
2 −x
3
et utiliser la méthode page 323 : la relation est ln
s(t)
s(t)−1
− 1
s(t)
= t + ln 2 − 1
2
)
d) Montrer que l’intervalle de définition de s est de la forme ]a, +∞[ et calculer le
nombre a. Montrer que s est décroissante et que lim
t→+∞
s(t) = 1.
e) Montrer que s(t) ∼
1
2(t−a)
quand t tend vers a (utiliser (c)).
476 – EXERCICES