premier ordre uz
+ (pu + 2u
)z = b(t). On sait que cette dernière équation se résout
au moyen de primitives.
8. Longues vagues dans un estuaire. Considérons un estuaire
O
h
b
x
y
a
de longueur a s’ouvrant sur la mer. Prenons un axe Ox
comme sur la figure ci-contre, l’origine étant au fond de
l’estuaire. La largeur b de l’estuaire et sa profondeur
h sont des fonctions de x. Par rapport au niveau
de la surface au repos, l’élévation de l’eau dans
l’estuaire, à l’abscisse x et à l’instant t, est une
fonction y(x, t) solution de l’équation
∂
2 y
∂t
2
=
g
b
∂
∂x
hb
∂y
∂x
(à condition de négliger
les écarts de pression dûs aux accélérations verticales des particules liquides).
À l’embouchure (x = a), il se maintient une houle périodique C cos(ωt+ϕ), de sorte
que l’équation devient
g
b
∂
∂x
hb
∂y
∂x
+ ω
2 y = 0 .
Supposons la profondeur h constante et la largeur b proportionnelle à x.
a) Montrer que y(x,t)=z(x)cos(ωt+ϕ), où z est solution de l’équation z
+ 1
x
z
+k
2 z,
avec k = ω/
√
gh.
b) En utilisant l’exercice 4, montrer que y(x, t) = C
J 0 (kx)
J 0 (ka)
cos(ωt+ϕ).
c) En se reportant au graphique de l’exercice 8 page 394, expliquer pourquoi dans
l’estuaire, l’amplitude des vagues augmente au fur et à mesure qu’elles remontent depuis l’embouchure, alors que la distance entre deux crêtes successives reste
presque constante.
9
@ . Expansion d'une bulle de gaz. Une bulle de gaz sphérique immergée dans un fluide
subit une expansion sous l’effet de sa pression interne p. Soit r 0 le rayon initial
et p i la pression interne à l’instant t = 0. Supposons que la pression ambiante est
négligeable devant p et que l’expansion suit la loi adiabatique
p
p i
=
r 0
r
3γ
, où γ est
l’exposant caractéristique du gaz. Notons ρ la masse volumique du fluide et r(t) le
rayon de la bulle à l’instant t. En faisant l’hypothèse ˙
r =0 à t=0, r satisfait l’équation
(1)
r¨ r + 3
2
˙
r
2 = c
2
r 0
r
3γ
où c
2 = p i /ρ (le coefficient c est homogène à une vitesse).
a) En multipliant (1) par r
2 ˙
r, montrer que l’on a d
dt
r
3 ˙
r
2
= d
dt
2c
2 r
3γ
0
3−3γ
r
3−3γ
.
b) En déduire l’intégrale première ˙
r
2
c
2
=
2
3(γ−1)
r 0
r
3 −
r 0
r
3γ
.
c) Prenons γ =4/3 (valeur convenable pour un gaz diatomique) et posons r =r 0 (1+z).
Montrer que l’on a (1+z)
2 ˙
z = c
r 0
√
2z. En déduire
√
2z
1 + 2
3
z + 1
5
z
2
= c
r 0
t.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 475
+ (pu + 2u
)z = b(t). On sait que cette dernière équation se résout
au moyen de primitives.
8. Longues vagues dans un estuaire. Considérons un estuaire
O
h
b
x
y
a
de longueur a s’ouvrant sur la mer. Prenons un axe Ox
comme sur la figure ci-contre, l’origine étant au fond de
l’estuaire. La largeur b de l’estuaire et sa profondeur
h sont des fonctions de x. Par rapport au niveau
de la surface au repos, l’élévation de l’eau dans
l’estuaire, à l’abscisse x et à l’instant t, est une
fonction y(x, t) solution de l’équation
∂
2 y
∂t
2
=
g
b
∂
∂x
hb
∂y
∂x
(à condition de négliger
les écarts de pression dûs aux accélérations verticales des particules liquides).
À l’embouchure (x = a), il se maintient une houle périodique C cos(ωt+ϕ), de sorte
que l’équation devient
g
b
∂
∂x
hb
∂y
∂x
+ ω
2 y = 0 .
Supposons la profondeur h constante et la largeur b proportionnelle à x.
a) Montrer que y(x,t)=z(x)cos(ωt+ϕ), où z est solution de l’équation z
+ 1
x
z
+k
2 z,
avec k = ω/
√
gh.
b) En utilisant l’exercice 4, montrer que y(x, t) = C
J 0 (kx)
J 0 (ka)
cos(ωt+ϕ).
c) En se reportant au graphique de l’exercice 8 page 394, expliquer pourquoi dans
l’estuaire, l’amplitude des vagues augmente au fur et à mesure qu’elles remontent depuis l’embouchure, alors que la distance entre deux crêtes successives reste
presque constante.
9
@ . Expansion d'une bulle de gaz. Une bulle de gaz sphérique immergée dans un fluide
subit une expansion sous l’effet de sa pression interne p. Soit r 0 le rayon initial
et p i la pression interne à l’instant t = 0. Supposons que la pression ambiante est
négligeable devant p et que l’expansion suit la loi adiabatique
p
p i
=
r 0
r
3γ
, où γ est
l’exposant caractéristique du gaz. Notons ρ la masse volumique du fluide et r(t) le
rayon de la bulle à l’instant t. En faisant l’hypothèse ˙
r =0 à t=0, r satisfait l’équation
(1)
r¨ r + 3
2
˙
r
2 = c
2
r 0
r
3γ
où c
2 = p i /ρ (le coefficient c est homogène à une vitesse).
a) En multipliant (1) par r
2 ˙
r, montrer que l’on a d
dt
r
3 ˙
r
2
= d
dt
2c
2 r
3γ
0
3−3γ
r
3−3γ
.
b) En déduire l’intégrale première ˙
r
2
c
2
=
2
3(γ−1)
r 0
r
3 −
r 0
r
3γ
.
c) Prenons γ =4/3 (valeur convenable pour un gaz diatomique) et posons r =r 0 (1+z).
Montrer que l’on a (1+z)
2 ˙
z = c
r 0
√
2z. En déduire
√
2z
1 + 2
3
z + 1
5
z
2
= c
r 0
t.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 475