c) Supposons que l’on a q(t) ω
2 sur un intervalle I de longueur au moins π/ω.
Montrer qu’alors chaque solution de (1) s’annule au moins une fois dans tout
intervalle J inclus dans I et de longueur π/ω. Si par exemple I = ]−∞, +∞[ ou
bien I = ]a, +∞[, alors chaque solution a une infinité de zéros dans I : on dit
que l’équation différentielle (1) est oscillante.
L’équation x
+ ω
2 x = 0 a pour solutions les fonctions sin(ωt + ϕ) qui oscillent d’autant plus vite que ω est grand. Le résultat précédent montre que dans l’équation (1),
plus q(t) est grand, plus les solutions oscillent vite.
d) On a esquissé page 158 le graphe d’une solution de l’équation d’Airy x
+tx=0 : que
peut-on dire de la courbe dans le domaine t > 0 ? (voir aussi l’exercice 7 page 572)
6. L'équation de Bessel générale. Étant donné un nombre réel α, l’équation de Bessel
d’indice α est (b α ) : x
+ 1
t
x
+
1− α
2
t
2
x = 0, définie dans l’intervalle ]0, +∞[.
Posons x(t) = y(t)/
√
t.
a) Montrer que y(t) est solution de l’équation y
+
1−
α
2 −(1/4)
t
2
y.
b) En appliquant l’exercice précédent, montrer que toutes les solutions de (b α ) sont
oscillantes dans ]0,+∞[ et que si |α| 1/2, alors chaque solution de (b α ) s’annule
au moins une fois dans tout intervalle de longueur π.
Le graphe de la solution J 0 de (b 0 ) est montré page 394. Les valeurs des premiers
zéros positifs des fonctions J 0 et J 1 = −J
0 sont données page 577.
c) Résoudre l’équation de Bessel pour α = 1/2.
L’équation de Bessel intervient dans de nombreuses questions de Physique, notamment dans l’étude des vibrations d’une membrane de tambour. En appelant r, θ les
coordonnées polaires dans le plan de la membrane et z(r, θ, t) l’élévation à l’instant t du point de coordonnées (r, θ), les solutions fondamentales sont de la forme
z = sin(ωt) sin(nθ)u(r), où n est un entier positif. La fonction u(r) doit vérifier
l’équation u
+ 1
r u
+
ω
2 c
2
− n
2
r
2
u = 0, où c est un coefficient qui dépend des
unités, de la tension de la membrane et de son élasticité. Il est facile de voir qu’en
posant v(ωcr) = u(r), la fonction v est solution de l’équation de Bessel (b n ). Il faut
que u soit définie en r = 0, ce qui impose u(0) = 0, et si a est le rayon de la
membrane, on doit avoir u(a) = 0 : il s’ensuit que pour n fixé, ω doit être l’un des
nombres z 1 /ca, . . . , z k /ca, . . ., où z 1 , . . . , z k . . . sont les zéros de v.
7. Équation linéaire du second ordre où l'on connaît une solution de l'équation homogène
Soit l’équation différentielle (1) x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t), où p(t), q(t) et b(t)
sont des fonctions. Supposons que u(t) est une solution de l’équation homogène
(h) x
+ p(t)x
+ q(t)x = 0 et cherchons une fonction λ(t) non constante telle que
v(t) = λ(t)u(t) soit solution de (1).
Montrer que v
+ pv + qv
= uλ
+ (pu + 2u
)λ
+ (u
+ pu
+ qu)λ. En déduire que
v(t) est solution si et seulement si la fonction z = λ
est solution de l’équation du
474 – EXERCICES
2 sur un intervalle I de longueur au moins π/ω.
Montrer qu’alors chaque solution de (1) s’annule au moins une fois dans tout
intervalle J inclus dans I et de longueur π/ω. Si par exemple I = ]−∞, +∞[ ou
bien I = ]a, +∞[, alors chaque solution a une infinité de zéros dans I : on dit
que l’équation différentielle (1) est oscillante.
L’équation x
+ ω
2 x = 0 a pour solutions les fonctions sin(ωt + ϕ) qui oscillent d’autant plus vite que ω est grand. Le résultat précédent montre que dans l’équation (1),
plus q(t) est grand, plus les solutions oscillent vite.
d) On a esquissé page 158 le graphe d’une solution de l’équation d’Airy x
+tx=0 : que
peut-on dire de la courbe dans le domaine t > 0 ? (voir aussi l’exercice 7 page 572)
6. L'équation de Bessel générale. Étant donné un nombre réel α, l’équation de Bessel
d’indice α est (b α ) : x
+ 1
t
x
+
1− α
2
t
2
x = 0, définie dans l’intervalle ]0, +∞[.
Posons x(t) = y(t)/
√
t.
a) Montrer que y(t) est solution de l’équation y
+
1−
α
2 −(1/4)
t
2
y.
b) En appliquant l’exercice précédent, montrer que toutes les solutions de (b α ) sont
oscillantes dans ]0,+∞[ et que si |α| 1/2, alors chaque solution de (b α ) s’annule
au moins une fois dans tout intervalle de longueur π.
Le graphe de la solution J 0 de (b 0 ) est montré page 394. Les valeurs des premiers
zéros positifs des fonctions J 0 et J 1 = −J
0 sont données page 577.
c) Résoudre l’équation de Bessel pour α = 1/2.
L’équation de Bessel intervient dans de nombreuses questions de Physique, notamment dans l’étude des vibrations d’une membrane de tambour. En appelant r, θ les
coordonnées polaires dans le plan de la membrane et z(r, θ, t) l’élévation à l’instant t du point de coordonnées (r, θ), les solutions fondamentales sont de la forme
z = sin(ωt) sin(nθ)u(r), où n est un entier positif. La fonction u(r) doit vérifier
l’équation u
+ 1
r u
+
ω
2 c
2
− n
2
r
2
u = 0, où c est un coefficient qui dépend des
unités, de la tension de la membrane et de son élasticité. Il est facile de voir qu’en
posant v(ωcr) = u(r), la fonction v est solution de l’équation de Bessel (b n ). Il faut
que u soit définie en r = 0, ce qui impose u(0) = 0, et si a est le rayon de la
membrane, on doit avoir u(a) = 0 : il s’ensuit que pour n fixé, ω doit être l’un des
nombres z 1 /ca, . . . , z k /ca, . . ., où z 1 , . . . , z k . . . sont les zéros de v.
7. Équation linéaire du second ordre où l'on connaît une solution de l'équation homogène
Soit l’équation différentielle (1) x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t), où p(t), q(t) et b(t)
sont des fonctions. Supposons que u(t) est une solution de l’équation homogène
(h) x
+ p(t)x
+ q(t)x = 0 et cherchons une fonction λ(t) non constante telle que
v(t) = λ(t)u(t) soit solution de (1).
Montrer que v
+ pv + qv
= uλ
+ (pu + 2u
)λ
+ (u
+ pu
+ qu)λ. En déduire que
v(t) est solution si et seulement si la fonction z = λ
est solution de l’équation du
474 – EXERCICES