z est solution de l’équation différentielle linéaire (2) z
+
q−
p
2
−
p
2
4
z = 0 où la
dérivée première de z ne figure plus.
c) Utiliser cette transformation pour résoudre l’équation x
+ 2tx
+ t
2 x = 0 (on se
ramène à z
− z = 0).
3
@ . Le wronskien. Soit l’équation différentielle (1) x
+ p(t)x
+ q(t)x = 0, où p(t) et q(t)
sont des fonctions. Si x(t) et y(t) sont des solutions de (1), leur wronskien est la
fonction w = xy
− x
y.
a) Montrer que w
= xy
− x
y et que w
+ pw = 0. En déduire que w(t) =
w(t 0 ) exp
−
t
t 0
p(s) ds
.
On peut ainsi, directement à partir de l’équation différentielle (1), calculer le wronskien
de deux solutions à un facteur multiplicatif près.
b) Supposons que I est un intervalle où x(t) ne s’annule pas. Montrer que
y
x
= w
x
2
et que pour t 0 et t dans I , on a y(t) = x(t)
t w(s)
x(s)
2
ds.
Si l’on connaît une solution x, cette formule fournit une solution y non proportionnelle à x.
c) Appliquons ce qui précède à l’équation de Bessel (b 0 ) x
+ 1
t
x
+ x = 0 dont une
solution est la fonction J 0 (t) définie dans l’exercice 8 page 394. Montrer que si α et β
sont deux zéros consécutifs et de même signe de J 0 , alors entre α et β les solutions
de (b 0 ) sont les fonctions cJ 0 (t) + dJ 0 (t)
t
ds
sJ 0 (s)
2
, où c et d sont des constantes.
4
@ . Un exemple d'utilisation du wronskien. Supposons que x(t) est une solution de l’équation de Bessel (b 0 ) : tx
+ x
+ tx = 0 et que x(t) est définie en t = 0.
a) Montrer que le wronskien w = x
J 0 − xJ
0 est défini au voisinage de t = 0 et solution de l’équation tw
+ w = 0. Résoudre cette équation et en déduire que l’on
a w(t) = 0 pour tout t.
b) Montrer que
x
J 0
= 0. En déduire que l’on a x(t) = x(0)J 0 (t) quel que soit t.
Pour l’équation (b 0 ), les seules solutions définies en t = 0 sont donc les fonctions cJ 0 , où
c est une constante.
5
@ . Équations oscillantes. On considère l’équation différentielle x
+ q(t)x = 0 et l’on
suppose qu’il existe un nombre ω > 0 tel que, pour tout t, q(t) ω
2 .
Soit t 0 un nombre réel ; on pose t 1 = t 0 + π
ω
et S(t) = sin
ω(t−t 0 )
.
Nous allons voir que si q(t) est définie sur l’intervalle [t 0 , t 1 ], alors toutes les solutions x(t) de l’équation différentielle x
+ q(t)x = 0 s’annulent au moins une fois
dans l’intervalle [t 0 , t 1 ].
a) Posons w = x
S−xS
. Montrer que w
(t) = S(t)x(t)
ω
2
−q(t)
.
b) Supposons x(t)>0 pour t 0 tt 1 . Montrer qu’alors on a w(t 0 )<0, w(t 1 )>0 et que
w est décroissante sur [t 0 , t 1 ]. En déduire une contradiction et le résultat annoncé.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 473
+
q−
p
2
−
p
2
4
z = 0 où la
dérivée première de z ne figure plus.
c) Utiliser cette transformation pour résoudre l’équation x
+ 2tx
+ t
2 x = 0 (on se
ramène à z
− z = 0).
3
@ . Le wronskien. Soit l’équation différentielle (1) x
+ p(t)x
+ q(t)x = 0, où p(t) et q(t)
sont des fonctions. Si x(t) et y(t) sont des solutions de (1), leur wronskien est la
fonction w = xy
− x
y.
a) Montrer que w
= xy
− x
y et que w
+ pw = 0. En déduire que w(t) =
w(t 0 ) exp
−
t
t 0
p(s) ds
.
On peut ainsi, directement à partir de l’équation différentielle (1), calculer le wronskien
de deux solutions à un facteur multiplicatif près.
b) Supposons que I est un intervalle où x(t) ne s’annule pas. Montrer que
y
x
= w
x
2
et que pour t 0 et t dans I , on a y(t) = x(t)
t w(s)
x(s)
2
ds.
Si l’on connaît une solution x, cette formule fournit une solution y non proportionnelle à x.
c) Appliquons ce qui précède à l’équation de Bessel (b 0 ) x
+ 1
t
x
+ x = 0 dont une
solution est la fonction J 0 (t) définie dans l’exercice 8 page 394. Montrer que si α et β
sont deux zéros consécutifs et de même signe de J 0 , alors entre α et β les solutions
de (b 0 ) sont les fonctions cJ 0 (t) + dJ 0 (t)
t
ds
sJ 0 (s)
2
, où c et d sont des constantes.
4
@ . Un exemple d'utilisation du wronskien. Supposons que x(t) est une solution de l’équation de Bessel (b 0 ) : tx
+ x
+ tx = 0 et que x(t) est définie en t = 0.
a) Montrer que le wronskien w = x
J 0 − xJ
0 est défini au voisinage de t = 0 et solution de l’équation tw
+ w = 0. Résoudre cette équation et en déduire que l’on
a w(t) = 0 pour tout t.
b) Montrer que
x
J 0
= 0. En déduire que l’on a x(t) = x(0)J 0 (t) quel que soit t.
Pour l’équation (b 0 ), les seules solutions définies en t = 0 sont donc les fonctions cJ 0 , où
c est une constante.
5
@ . Équations oscillantes. On considère l’équation différentielle x
+ q(t)x = 0 et l’on
suppose qu’il existe un nombre ω > 0 tel que, pour tout t, q(t) ω
2 .
Soit t 0 un nombre réel ; on pose t 1 = t 0 + π
ω
et S(t) = sin
ω(t−t 0 )
.
Nous allons voir que si q(t) est définie sur l’intervalle [t 0 , t 1 ], alors toutes les solutions x(t) de l’équation différentielle x
+ q(t)x = 0 s’annulent au moins une fois
dans l’intervalle [t 0 , t 1 ].
a) Posons w = x
S−xS
. Montrer que w
(t) = S(t)x(t)
ω
2
−q(t)
.
b) Supposons x(t)>0 pour t 0 tt 1 . Montrer qu’alors on a w(t 0 )<0, w(t 1 )>0 et que
w est décroissante sur [t 0 , t 1 ]. En déduire une contradiction et le résultat annoncé.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 473