On en déduit βae
−aC(t)
− μ(t)
1 − e
−aC(t)
= 0, ou encore e
aC(t) =
μ(t) + βa
μ(t)
et
finalement
(5)
C(t) = 1
a
ln
1 +
βa
μ(t)
La fonction C(t) est la quantité totale de ressources que la plante a affectée à sa
croissance jusqu’à l’âge t.
On considère habituellement qu’avant d’atteindre un âge t 0 de maturité reproductive,
la plante consacre toutes ses ressources à sa croissance afin d’atteindre au plus vite
sa période de reproduction : on a donc c(t) = 1 pour t t 0 et par suite C(t) = t
pour t t 0 . Ainsi, la solution C(t) est en réalité définie en deux morceaux :
C(t) =
⎧
⎨
⎩
t
si 0 t t 0
1
a
ln
1 +
βa
μ(t)
si t t 0
L’instant t 0 est l’âge de première reproduction : il satisfait l’équation t 0 = 1
a
ln
1 +
βa
μ(t 0 )
,
car C est une fonction continue. La figure 1 montre l’allure d’une courbe C(t) typique. Sur la figure 2, on voit la dérivée c(t) = C
(t) sur chaque intervalle : c’est la
proportion des ressources que la plante affecte à chaque instant à sa croissance.
C(t)
t 0
t
figure 1
t 0
t
1
C
(t)
figure 2
Exercices
1
@ . Associer chaque équation différentielle à son champ de directions.
a) x
= x
2
− t
2
b) x
= t − 2x
c) x
= te
−tx
d) x
= x(t − x)
figure 1
figure 2
figure 3
figure 4
2
@ . Forme normale d'une équation linéaire du second ordre. Soit l’équation différentielle
(1) x
+ p(t)x
+ q(t)x = 0, où p(t) et q(t) sont des fonctions.
a) Montrer que par le changement d’inconnue x(t) = z(t)a(t), l’équation (1) devient
az
+ (2a
+ pa)z
+ (a
+ pa
+ qa)z = 0.
b) Posons a(t) = exp
−1
2
t
t 0
p(s) ds
. Montrer que l’on a a(t) > 0 pour tout t et que
472 – EXERCICES