C’est une équation différentielle linéaire. La constante f m est solution particulière
et puisqu’on doit avoir f (0) = 0, il vient
(2)
f (t) = f m
1 − e
−aC(t)
, avec C(t) =
t
0
c(s) ds.
Évaluation de la production de graines. Considérons que pour un individu donné,
la quantité de graines produite est proportionnelle à la part de ressources consacrée
à sa reproduction. Puisque la plante ne consacre à sa reproduction qu’une partie
1 − c(t) de ses ressources, adoptons pour la fonction ϕ(t) la formule
(3)
ϕ(t) =
1 − c(t)
α
f (t)
β
Introduisons le taux de mortalité μ(t) à l’âge t et la probabilité q(t) pour que la
plante atteigne l’âge t. Entre des instants rapprochés t et t+δt, les plantes meurent en
proportion q(t) − q(t + δt) = μ(t)q(t)δt, d’où l’équation différentielle q
(t) = −μ(t)q(t).
Puisque q(0) = 1, la solution est
(4)
q(t) = e
−M (t) , avec M (t) =
t
0
μ(s) ds.
En tenant compte des égalités (2), (3) et (4), la valeur reproductive (1) est ainsi
R = α(f m )
β
∞
0
e
−M (t)
1 − e
−aC(t)
β
1 − c(t)
dt
On considère que la plante répartit ses ressources de manière à rendre maximum la
valeur R. Puisque c(t) = C
(t), introduisons la fonctionnelle
J(C) =
∞
0
e
−M (t)
1 − e
−aC(t)
β
1 − C
(t)
dt
Pour découvrir la stratégie employée par la plante, il s’agit de trouver une fonction
C(t), définie pour t 0, à dérivée c(t) = C
(t) comprise entre 0 et 1 et telle que J(C)
est maximum. Bien qu’on ne soit pas exactement dans le cadre théorique précédent
(car l’intégrale est généralisée), écrivons néanmoins l’équation d’Euler, en prenant la
fonction
F (t, C, p) = e
−M (t)
1 − e
−aC
β (1 − p) ,
où p représente la variable c = C
. L’équation d’Euler est ∂F
∂C
− ∂
∂t
∂F
∂p
= 0 , avec
®
∂F
∂C
= e
−M (t) β
1 − e
−aC
β−1 ae
−aC (1 − c)
®
∂F
∂p
= −e
−M (t)
1 − e
−aC
β
®
∂
∂t
∂F
∂p
= μ(t)e
−M (t)
1 − e
−aC
β − βe
−M (t)
1 − e
−aC
β−1 ace
−aC
et il vient après simplification
0 = e
−M (t) βae
−aC(t)
1 − e
−aC(t)
β−1 − μ(t)e
−M (t)
1 − e
−aC(t)
β
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 471