Cas particulier où F ne dépend pas de x
Supposons que la fonctionnelle est J(y) =
b
a
F (y, y
) dx. On a alors
d
dx
F − y
∂F
∂p
=
∂F
∂y
y
+ ∂F
∂p
y
− y
∂F
∂p
− y
∂
2 F
∂p
2
y
+ ∂
2 F
∂y∂p
y
ou encore
(∗)
d
dx
F − y
∂F
∂p
= ∂F
∂y
y
− ∂
2 F
∂y∂p
y
2 − ∂
2 F
∂p
2
y
y
.
Dans l’équation d’Euler, l’expression est
∂F
∂y
− ∂
∂x
∂F
∂p
= ∂F
∂y
− ∂
∂p
∂F
∂p
dp
dx
+ ∂
∂y
∂F
∂p
dy
dx
= ∂F
∂y
− ∂
2 F
∂y∂p
y
− ∂
2 F
∂p
2
y
et en multipliant par y
, on obtient (∗).
L’équation d’Euler s’écrit donc d
dx
F − y
∂F
∂p
= 0 et les solutions sont les fonctions
f telles que
F
f (x), f
(x)
− f
(x) ∂F
∂p
f (x), f
(x)
= c , où c est une constante.
4.2 Application : une stratégie de croissance végétale
Une plante partage ses ressources énergétiques entre croissance, reproduction et défense. Pour simplifier, considérons seulement le cas d’une plante qui, à tout âge t,
consacre une partie c(t) de ses ressources à sa croissance et le reste à la reproduction ;
on a bien sûr 0 c(t) 1 pour tout t 0.
La valeur reproductive de la plante est
(1)
R =
∞
0
q(t) ϕ(t) dt , où
® ϕ(t) est la quantité de graines produite à l’âge t,
® q(t) est la probabilité que la plante atteigne l’âge t.
Voici une modélisation qui se propose de calculer la fonction c(t).
Le facteur fécondité. Dans une espèce végétale, la fécondité dépend de l’âge : pour
des individus pouvant atteindre une taille suffisante, la production moyenne de
graines croît structurellement avec la taille (comme dans le cas d’un arbre, par
exemple). Si l’on note f (t) la fécondité, nous écrivons donc cette production sous
la forme α
f (t)
β , où α et β sont des constantes allométriques positives.
Variation de la fécondité. Le taux de fécondité de la plante est le nombre dérivé f
(t) : faisons l’hypothèse qu’il est proportionnel à la croissance et à l’écart
f m − f (t), où f m est la fécondité correspondant à la taille maximum.
On a donc
f
(t) = a
f m − f (t)
c(t) , où a est un facteur positif propre à l’espèce.
470 – INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS