® Posons c = 1
b−a
b
a
u(x) dx et choisissons l’accroissement h(x) =
x
a
u(t) − c
dt. On a bien
h(a) = 0 et h(b) =
b
a
u(t) − c
dt =
b
a
u(t) dt − c(b−a) = 0. De plus,
b
a
u(x)−c
h
(x) dx =
b
a
u(x)h
(x) dx − c
h(b)−h(a)
= 0, d’après (2).
Or h
(x) = u(x) − c, donc il vient
b
a
u(x)−c
2 dx = 0. Puisque la fonction
u(x)−c
2 est
continue et à valeurs positives ou nulles, on en déduit qu’elle est nulle (page 288). On a
donc u(x) = c pour tout x ∈ [a, b].
Ainsi, nous avons montré que β(x)−A(x) est constante, d’où β
(x) = A
(x) = α(x) pour tout
x entre a et b : c’est l’équation d’Euler.
Exemple. Reprenons l’exemple précédent d’un rayon lumineux se propageant du
point A = (a, y A ) au point B = (b, y B ) dans un milieu d’indice variable n(x). Pour
trouver la courbe y(x) décrite par ce rayon, on doit minimiser la fonctionnelle J(y) =
b
a
n(x)
1 + y (x) 2 dx. Posons donc F (x,y,p)=n(x)
1 + p 2 . L’équation d’Euler s’écrit
0 = ∂F
∂y
+ ∂
∂x
∂F
∂p
= ∂
∂x
p n(x)
1 + p 2
, car ∂F
∂y
= 0
y
(x) n(x)
1 + y (x) 2
= K , où K est une constante.
Il vient y
=
K
n(x) 2 − K 2
, ce qui ramène le calcul de y(x) à celui d’une primitive.
La solution générale dépend de deux constantes, K et la constante d’intégration dans
la primitive : on les détermine au moyen des conditions y(a) = y A et y(b) = y B .
En introduisant l’abscisse curviligne ds =
1 + y 2 dx (page 313), on a n(x)
dy
dx
= K ds
dx
,
donc n(x)dy = K ds et n(x)
dy
ds
= K . Notons
− →
T le vecteur tangent unitaire à la courbe
y(x) et θ l’angle
Ox,
− →
T . Puisque
dy
ds
= sin θ, il vient
n(x) sin
θ(x)
= K
(x )
θ
θ
1
n 0
n
n
1
θ 0
1
0
x
x
x
On obtient ainsi la « loi de la réfraction » : considérons une droite d’équation x = x 0 ;
l’indice y est constant ; puisque la normale à la droite est dans la direction de l’axe
des x, au point où il traverse cette droite, le rayon fait
l’angle θ 0 = θ(x 0 ) avec la normale ; la loi de la réfraction
affirme que pour deux points d’abscisses x 0 et x 1 , on a
n 0 sin θ 0 = n 1 sin θ 1 , où n 0 et n 1 sont les indices et θ 0 , θ 1
les angles que fait le rayon avec la normale aux lignes (ou
plus généralement aux surfaces) d’indice constant.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 469
b−a
b
a
u(x) dx et choisissons l’accroissement h(x) =
x
a
u(t) − c
dt. On a bien
h(a) = 0 et h(b) =
b
a
u(t) − c
dt =
b
a
u(t) dt − c(b−a) = 0. De plus,
b
a
u(x)−c
h
(x) dx =
b
a
u(x)h
(x) dx − c
h(b)−h(a)
= 0, d’après (2).
Or h
(x) = u(x) − c, donc il vient
b
a
u(x)−c
2 dx = 0. Puisque la fonction
u(x)−c
2 est
continue et à valeurs positives ou nulles, on en déduit qu’elle est nulle (page 288). On a
donc u(x) = c pour tout x ∈ [a, b].
Ainsi, nous avons montré que β(x)−A(x) est constante, d’où β
(x) = A
(x) = α(x) pour tout
x entre a et b : c’est l’équation d’Euler.
Exemple. Reprenons l’exemple précédent d’un rayon lumineux se propageant du
point A = (a, y A ) au point B = (b, y B ) dans un milieu d’indice variable n(x). Pour
trouver la courbe y(x) décrite par ce rayon, on doit minimiser la fonctionnelle J(y) =
b
a
n(x)
1 + y (x) 2 dx. Posons donc F (x,y,p)=n(x)
1 + p 2 . L’équation d’Euler s’écrit
0 = ∂F
∂y
+ ∂
∂x
∂F
∂p
= ∂
∂x
p n(x)
1 + p 2
, car ∂F
∂y
= 0
y
(x) n(x)
1 + y (x) 2
= K , où K est une constante.
Il vient y
=
K
n(x) 2 − K 2
, ce qui ramène le calcul de y(x) à celui d’une primitive.
La solution générale dépend de deux constantes, K et la constante d’intégration dans
la primitive : on les détermine au moyen des conditions y(a) = y A et y(b) = y B .
En introduisant l’abscisse curviligne ds =
1 + y 2 dx (page 313), on a n(x)
dy
dx
= K ds
dx
,
donc n(x)dy = K ds et n(x)
dy
ds
= K . Notons
− →
T le vecteur tangent unitaire à la courbe
y(x) et θ l’angle
Ox,
− →
T . Puisque
dy
ds
= sin θ, il vient
n(x) sin
θ(x)
= K
(x )
θ
θ
1
n 0
n
n
1
θ 0
1
0
x
x
x
On obtient ainsi la « loi de la réfraction » : considérons une droite d’équation x = x 0 ;
l’indice y est constant ; puisque la normale à la droite est dans la direction de l’axe
des x, au point où il traverse cette droite, le rayon fait
l’angle θ 0 = θ(x 0 ) avec la normale ; la loi de la réfraction
affirme que pour deux points d’abscisses x 0 et x 1 , on a
n 0 sin θ 0 = n 1 sin θ 1 , où n 0 et n 1 sont les indices et θ 0 , θ 1
les angles que fait le rayon avec la normale aux lignes (ou
plus généralement aux surfaces) d’indice constant.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 469