h 0 est assez petite, que J(f + h 0 ) − J(f ) et L f (h 0 ) sont tous deux négatifs. Mais puisque
L f (h) dépend linéairement de h, on a aussi L f (−h 0 ) = −L f (h 0 ) > 0 et comme L f (−h 0 ) doit
avoir aussi le signe de J(f − h 0 ) − J(f ) 0, cela est impossible.
4.1 L'équation d'Euler
Traduisons cette condition dans le cas de la fonctionnelle
J(y) =
b
a
F
x, y(x), y
(x)
dx
où la fonction F (x, y, p) a des dérivées partielles secondes continues. Rappelons que
les fonctions admissibles y sont les fonctions deux fois dérivables telles que y(a) = y A
et y(b) = y B sont des valeurs données.
Théorème. Pour que J(y) ait un extremum en y = f , il faut que
∂F
∂y
x, f (x), f
(x)
− ∂
∂x
∂F
∂p
x, f (x), f
(x)
= 0
L’égalité ci-dessus s’appelle l’équation d’Euler.
Démonstration. Pour un accroissement h tel que h(a) = h(b) = 0, on a
J(y + h) − J(y) =
b
a
F (x, y + h, y
+ h
) − F (x, y, y
)
dx
Écrivons l’approximation affine de F (x, y, p) au point (x, y, y
) :
F (x, y + h, y
+ h
) − F (x, y, y
) = h ∂F
∂y
(x, y, y
) + h
∂F
∂p
(x, y, y
) + ϕ(h)
où d’après le choix de la norme de h, ϕ(h) est négligeable devant h. On en déduit que la
variation de J en y est
L y (h) =
b
a
h ∂F
∂y
x, y(x), y
(x)
+ h
∂F
∂p
x, y(x), y
(x)
dx
Si J(y) a un extremum local en f , alors L f (h) = 0 pour tout accroissement h deux
fois dérivable tel que h(a) = h(b) = 0. Posons pour simplifier α(x) = ∂F
∂y
x, f (x), f
(x)
et
β(x) = ∂F
∂p
x, f (x), f
(x)
, de sorte que
(1)
b
a
α(x)h(x) + β(x)h
(x)
dx = 0 , si h(a) = h(b) = 0.
® En posant A(x) =
x
a
α(t) dt et en intégrant par parties, il vient
b
a
α(x)h(x) dx = −
b
a
A(x)h
(x) dx ,
car h(a) = h(b) = 0. La condition (1) devient
(2)
b
a
−A(x) + β(x)
h
(x) dx =
b
a
u(x)h
(x) dx = 0 , où u(x) = −A(x) + β(x).
468 – INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS