fonctionnelle
J(y) =
b
a
F
x, y(x), y
(x)
dx
Les fonctions admissibles. Donnons-nous des points A = (a, y A ) et B = (b, y B ) :
on dira qu’une fonction y(x), dérivable jusqu’à un ordre suffisant, est admissible si
l’on a y(a) = y A et y(b) = y B , autrement dit si le graphe de la fonction y(x) a pour
extrémités les points A et B.
Dans le cas où l’on veut rendre maximum la fonctionnelle J(y), le problème se
formule ainsi :
trouver une fonction f (x) admissible telle que J(f ) J(y) pour
toute fonction admissible y.
Variation d'une fonctionnelle.
y
y + h
a
b x
Puisque y est une fonction, un accroissement h
à la fonction y est une fonction h(x) (suffisamment de fois dérivable) telle que la fonction (y + h)(x) = y(x) + h(x) est encore
admissible, ce qui revient à supposer h(a) = h(b) = 0.
Si l’on ajoute deux accroissements ou si l’on multiplie un accroissement par un nombre réel, ces conditions aux extrémités
sont encore vérifiées : l’ensemble des accroissements est donc un espace vectoriel de
fonctions. Afin de mesurer la taille d’un accroissement h, définissons sa norme
h = max
axb
|h(x)| + |h
(x)|
Pour cette norme, un accroissement h est petit si toutes ses valeurs h(x), ainsi que les
valeurs de sa dérivée h
(x), sont petites.
Supposons qu’on peut écrire
J(y + h) − J(y) = L y (h) + ϕ(h)
où L y (h) dépend linéairement de h et ϕ(h)
h→0
h (donc ϕ(h) est négligeable devant h quand h tend vers 0, voir page 265). Pour un accroissement h assez petit,
la fonctionnelle L y (h) ne diffère de la différence J(y + h) − J(y) que d’une quantité
négligeable devant h.
La fonctionnelle linéaire L y (h) s’appelle la variation de J en y.
La variation d’une fonctionnelle est l’analogue de la différentielle ordinaire d’une fonction. Comme pour la différentielle, nous allons voir que si J(y) présente un extremum
en y = f , alors sa variation en f est nulle.
Condition nécessaire d'extremum. Soit f une fonction admissible. Si la fonctionnelle J(y) présente un extremum local en y = f , alors L f (h) = 0 pour tout accroissement
h tel que h(a) = h(b) = 0.
Démonstration. Supposons par exemple que J(y) a un maximum local en y = f , donc
J(f + h) − J(f ) 0 pour tout h assez petit. Pour montrer que L f = 0, raisonnons par l’absurde
en supposant qu’il y a un accroissement h 0 tel que L f (h 0 ) = 0. Puisque J(f + h 0 ) − J(f ) ne
diffère de L f (h 0 ) que d’une quantité négligeable devant h 0 , on en déduit, si la norme de
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 467
J(y) =
b
a
F
x, y(x), y
(x)
dx
Les fonctions admissibles. Donnons-nous des points A = (a, y A ) et B = (b, y B ) :
on dira qu’une fonction y(x), dérivable jusqu’à un ordre suffisant, est admissible si
l’on a y(a) = y A et y(b) = y B , autrement dit si le graphe de la fonction y(x) a pour
extrémités les points A et B.
Dans le cas où l’on veut rendre maximum la fonctionnelle J(y), le problème se
formule ainsi :
trouver une fonction f (x) admissible telle que J(f ) J(y) pour
toute fonction admissible y.
Variation d'une fonctionnelle.
y
y + h
a
b x
Puisque y est une fonction, un accroissement h
à la fonction y est une fonction h(x) (suffisamment de fois dérivable) telle que la fonction (y + h)(x) = y(x) + h(x) est encore
admissible, ce qui revient à supposer h(a) = h(b) = 0.
Si l’on ajoute deux accroissements ou si l’on multiplie un accroissement par un nombre réel, ces conditions aux extrémités
sont encore vérifiées : l’ensemble des accroissements est donc un espace vectoriel de
fonctions. Afin de mesurer la taille d’un accroissement h, définissons sa norme
h = max
axb
|h(x)| + |h
(x)|
Pour cette norme, un accroissement h est petit si toutes ses valeurs h(x), ainsi que les
valeurs de sa dérivée h
(x), sont petites.
Supposons qu’on peut écrire
J(y + h) − J(y) = L y (h) + ϕ(h)
où L y (h) dépend linéairement de h et ϕ(h)
h→0
h (donc ϕ(h) est négligeable devant h quand h tend vers 0, voir page 265). Pour un accroissement h assez petit,
la fonctionnelle L y (h) ne diffère de la différence J(y + h) − J(y) que d’une quantité
négligeable devant h.
La fonctionnelle linéaire L y (h) s’appelle la variation de J en y.
La variation d’une fonctionnelle est l’analogue de la différentielle ordinaire d’une fonction. Comme pour la différentielle, nous allons voir que si J(y) présente un extremum
en y = f , alors sa variation en f est nulle.
Condition nécessaire d'extremum. Soit f une fonction admissible. Si la fonctionnelle J(y) présente un extremum local en y = f , alors L f (h) = 0 pour tout accroissement
h tel que h(a) = h(b) = 0.
Démonstration. Supposons par exemple que J(y) a un maximum local en y = f , donc
J(f + h) − J(f ) 0 pour tout h assez petit. Pour montrer que L f = 0, raisonnons par l’absurde
en supposant qu’il y a un accroissement h 0 tel que L f (h 0 ) = 0. Puisque J(f + h 0 ) − J(f ) ne
diffère de L f (h 0 ) que d’une quantité négligeable devant h 0 , on en déduit, si la norme de
Chapitre 15 – ´
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