π T
T 0
=
π/2
0
2 sin(x 0 /2) cos ϕ dϕ
cos(x/2)
sin
2 (x 0 /2)− sin
2 (x 0 /2) sin
2 ϕ
1/2
= 2
π/2
0
sin(x 0 /2) cos ϕ dϕ
cos(x/2) sin(x 0 /2) cos ϕ
π T
T 0
= 2
π/2
0
dϕ
cos(x/2)
= 2
π/2
0
dϕ
1− sin
2 (x 0 /2) sin
2 ϕ
1/2
Puisque x 0 est petit, remplaçons la fraction par son développement limité :
π
2
T
T 0
∼
π/2
0
1 + 1
2
sin
2 (x 0 /2) sin
2 ϕ
dϕ
∼
π/2
0
1 +
x
2
0
16
(1− cos 2ϕ)
dϕ , car sin(x 0 /2) x 0 /2
∼
1 +
x
2
0
16
π
2
,
car
π/2
0
cos 2ϕ dϕ = 0
On trouve finalement que la période est T ∼ T 0
1 +
x
2
0
16
quand x 0 est petit.
4. Introduction au calcul des variations
De nombreux problèmes conduisent à chercher une fonction y(x) qui rende maximum (ou minimum) une quantité de la forme J(y) =
b
a
F
x, y(x), y
(x)
dx, où
l’expression sous le signe intégrale dépend de x, de la fonction y et de sa dérivée
y
. L’intégrale J(y) s’appelle une fonctionnelle de y.
En général, la fonction inconnue y doit satisfaire des conditions supplémentaires,
comme prendre des valeurs données en x = a et en x = b (conditions aux extrémités).
Exemple. La vitesse de la lumière dans un matériau d’indice optique n est c/n, où
c est la vitesse de la lumière dans le vide. D’après le principe de Fermat, un rayon
lumineux suit le chemin le plus rapide. Pour un déplacement suivant une courbe
y(x) dans la direction x croissant, un élément d’arc de longueur ds =
1 + y 2 est
parcouru à la vitesse c/n(x), où n(x) est l’indice du milieu à l’abscisse x. On a
donc ds
dt
= c
n(x)
et le temps mis par la lumière pour aller d’un point A d’abscisse
a à un point B d’abscisse b est l’intégrale de c dt, c’est-à-dire la fonctionnelle
J(y) = 1
c
b
a
n(x)
1 + y 2 dx
Énoncé du problème. Pour clarifier la notation, introduisons une variable p pour
désigner la dérivée y
. Considérons une fonction F (x, y, p) de trois variables et la
466 – INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS
T 0
=
π/2
0
2 sin(x 0 /2) cos ϕ dϕ
cos(x/2)
sin
2 (x 0 /2)− sin
2 (x 0 /2) sin
2 ϕ
1/2
= 2
π/2
0
sin(x 0 /2) cos ϕ dϕ
cos(x/2) sin(x 0 /2) cos ϕ
π T
T 0
= 2
π/2
0
dϕ
cos(x/2)
= 2
π/2
0
dϕ
1− sin
2 (x 0 /2) sin
2 ϕ
1/2
Puisque x 0 est petit, remplaçons la fraction par son développement limité :
π
2
T
T 0
∼
π/2
0
1 + 1
2
sin
2 (x 0 /2) sin
2 ϕ
dϕ
∼
π/2
0
1 +
x
2
0
16
(1− cos 2ϕ)
dϕ , car sin(x 0 /2) x 0 /2
∼
1 +
x
2
0
16
π
2
,
car
π/2
0
cos 2ϕ dϕ = 0
On trouve finalement que la période est T ∼ T 0
1 +
x
2
0
16
quand x 0 est petit.
4. Introduction au calcul des variations
De nombreux problèmes conduisent à chercher une fonction y(x) qui rende maximum (ou minimum) une quantité de la forme J(y) =
b
a
F
x, y(x), y
(x)
dx, où
l’expression sous le signe intégrale dépend de x, de la fonction y et de sa dérivée
y
. L’intégrale J(y) s’appelle une fonctionnelle de y.
En général, la fonction inconnue y doit satisfaire des conditions supplémentaires,
comme prendre des valeurs données en x = a et en x = b (conditions aux extrémités).
Exemple. La vitesse de la lumière dans un matériau d’indice optique n est c/n, où
c est la vitesse de la lumière dans le vide. D’après le principe de Fermat, un rayon
lumineux suit le chemin le plus rapide. Pour un déplacement suivant une courbe
y(x) dans la direction x croissant, un élément d’arc de longueur ds =
1 + y 2 est
parcouru à la vitesse c/n(x), où n(x) est l’indice du milieu à l’abscisse x. On a
donc ds
dt
= c
n(x)
et le temps mis par la lumière pour aller d’un point A d’abscisse
a à un point B d’abscisse b est l’intégrale de c dt, c’est-à-dire la fonctionnelle
J(y) = 1
c
b
a
n(x)
1 + y 2 dx
Énoncé du problème. Pour clarifier la notation, introduisons une variable p pour
désigner la dérivée y
. Considérons une fonction F (x, y, p) de trois variables et la
466 – INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS