® L’équilibre haut x 0 = ±π,v 0 = 0 est instable : en effet, si M 0 est proche de B = (π,0)
mais différent de B, le point M (t) parcourt une trajectoire qui l’éloigne loin de
B ; c’est ce qui se passe si l’on abandonne le pendule sans vitesse initiale à partir
d’une position angulaire x 0 voisine de π mais différente de π (figure 2 avec α
proche de π), ou bien si, à partir de la position x 0 = ±π, on lui donne une vitesse
initiale v 0 non nulle (figure 1).
Étude des petites oscillations sans vitesse initiale. Supposons qu’on lâche
le pendule sans vitesse initiale (v 0 = 0) après l’avoir écarté d’un angle x 0 tel que
0 < x 0 < π.
En posant
g// = ω, on a alors K 0 = −ω
2 cosx 0 et L 0 = −cosx 0 . Pendant la première
demi-oscillation, on a −x 0 x(t) x 0 , ˙
x(t) < 0 et l’équation (2) devient
(3)
dx
√
cos x− cos x 0
= −
√
2 ω dt
Supposons x 0 petit.
Remplaçons cos x par son développement limité 1−x
2 /2 en 0 et de même pour
cos x 0 . On obtient
dx
x
2
0 −x 2
= −ω dt, et en posant x = x 0 y, il vient
dy
1−y 2
= −ωdt.
En intégrant, on a Arc sin y = −ωt + c, d’où y = sin(−ωt + c) ; la constante c est
déterminée par y =1 quand t =0, donc 1=sinc, c= π/2 et y =sin(−ωt+π/2)=cosωt.
Finalement, quand x 0 est très petit, les oscillations sont approximativement décrites
par la fonction
x(t) = x 0 cos ωt
La période est T 0 = 2π/ω = 2π
/g, indépendante de la petite amplitude x 0 .
En réalité, la période T dépend de x 0 . Pour en faire une meilleure estimation, revenons
à l’égalité (3). Le temps mis par le pendule pour aller de x 0 à 0 est un quart de
période, donc d’après (3), on a
√
2 ω T
4
=
x 0
0
dx
cos x− cos x 0
1/2
Cette intégrale généralisée est bien définie, comme nous l’avons montré page 327.
Puisque cos x− cos x 0 = 2 sin
2 (x 0 /2) − 2 sin
2 (x/2), il vient
T
4
2π
T 0
√
2 = 1
√
2
x 0
0
dx
sin
2 (x 0 /2)− sin
2 (x/2)
1/2
ou encore
π T
T 0
=
x 0
0
dx
sin
2 (x 0 /2)− sin
2 (x/2)
1/2
Puisque x reste inférieur à x 0 , faisons le changement de variable sin(x/2)=sin(x 0 /2)sinϕ.
On a
1
2
cos x
2
dx = sin
x 0
2
cos ϕ dϕ
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 465
mais différent de B, le point M (t) parcourt une trajectoire qui l’éloigne loin de
B ; c’est ce qui se passe si l’on abandonne le pendule sans vitesse initiale à partir
d’une position angulaire x 0 voisine de π mais différente de π (figure 2 avec α
proche de π), ou bien si, à partir de la position x 0 = ±π, on lui donne une vitesse
initiale v 0 non nulle (figure 1).
Étude des petites oscillations sans vitesse initiale. Supposons qu’on lâche
le pendule sans vitesse initiale (v 0 = 0) après l’avoir écarté d’un angle x 0 tel que
0 < x 0 < π.
En posant
g// = ω, on a alors K 0 = −ω
2 cosx 0 et L 0 = −cosx 0 . Pendant la première
demi-oscillation, on a −x 0 x(t) x 0 , ˙
x(t) < 0 et l’équation (2) devient
(3)
dx
√
cos x− cos x 0
= −
√
2 ω dt
Supposons x 0 petit.
Remplaçons cos x par son développement limité 1−x
2 /2 en 0 et de même pour
cos x 0 . On obtient
dx
x
2
0 −x 2
= −ω dt, et en posant x = x 0 y, il vient
dy
1−y 2
= −ωdt.
En intégrant, on a Arc sin y = −ωt + c, d’où y = sin(−ωt + c) ; la constante c est
déterminée par y =1 quand t =0, donc 1=sinc, c= π/2 et y =sin(−ωt+π/2)=cosωt.
Finalement, quand x 0 est très petit, les oscillations sont approximativement décrites
par la fonction
x(t) = x 0 cos ωt
La période est T 0 = 2π/ω = 2π
/g, indépendante de la petite amplitude x 0 .
En réalité, la période T dépend de x 0 . Pour en faire une meilleure estimation, revenons
à l’égalité (3). Le temps mis par le pendule pour aller de x 0 à 0 est un quart de
période, donc d’après (3), on a
√
2 ω T
4
=
x 0
0
dx
cos x− cos x 0
1/2
Cette intégrale généralisée est bien définie, comme nous l’avons montré page 327.
Puisque cos x− cos x 0 = 2 sin
2 (x 0 /2) − 2 sin
2 (x/2), il vient
T
4
2π
T 0
√
2 = 1
√
2
x 0
0
dx
sin
2 (x 0 /2)− sin
2 (x/2)
1/2
ou encore
π T
T 0
=
x 0
0
dx
sin
2 (x 0 /2)− sin
2 (x/2)
1/2
Puisque x reste inférieur à x 0 , faisons le changement de variable sin(x/2)=sin(x 0 /2)sinϕ.
On a
1
2
cos x
2
dx = sin
x 0
2
cos ϕ dϕ
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 465