et T
− la partie située dans le demi-plan v < 0.
v
x
x
+ cos x
−π
−π
π
π
1
C
A
B
T
+
T
−
figure 3
® Si le point initial est A, c’est-à-dire x 0 = −π et v 0 = 0, la trajectoire est réduite
au point A : le pendule reste dans sa position d’équilibre haute ; de même si le
point initial est en B, la trajectoire est réduite au point B.
® Supposons que le point initial M 0 est sur T
+ , autrement dit −π 0.
La trajectoire est alors tout l’arc
AB de T
+ , extrémités non comprises, parcouru
de A vers B. Le point M (t) met un temps infini pour parcourir l’arc
M 0 B .
® Si l’on a −π < x 0 < π et v 0 < 0, le point initial est sur T
− et la trajectoire est
l’arc
BA de T
− , extrémités non comprises, parcouru de B vers A.
Il y a donc quatre trajectoires entre −π et π : les deux points A et B et les arcs T
+
et T
− .
Cas L 0 = −1 . Puisque −1+ cos x n’est positif ou nul que pour x = 2kπ, où k est
un entier, l’ensemble C n’est constitué que des points d’équilibre bas (2kπ, 0),
chacun d’eux étant une trajectoire.
La figure ci-dessous montre l’ensemble des trajectoires.
v
x
Pour déterminer la fonction x(t), il faudrait résoudre l’équation différentielle (1)
page 462. En écrivant
dx
L 0 + cos x
= ±
2g// dt, il vient
(2)
x(t)
x 0
du
L 0 + cos u
= ±
2g
t
Mais l’intégrale ne se calcule pas au moyen des fonctions usuelles.
Stabilité des équilibres
® L’équilibre bas x 0 = v 0 = 0 est stable : si M 0 est proche de l’origine, la trajectoire
est un petit cycle autour de l’origine, correspondant aux petites oscillations du
pendule autour de son équilibre bas.
464 – L’ ´
EQUATION DE NEWTON