x
v
x
C +
π
π
C −
−
− h(x)
h(x)
π
π
−
1
L 0 + cos x
1
figure 1
Si v 0 < 0, on obtient le mouvement en sens inverse : la trajectoire est la courbe
C − située dans le demi-plan v < 0, parcourue dans le sens x décroissant.
Ces mouvements ne peuvent exister qu’à un niveau d’énergie suffisant et avec une
vitesse initiale v 0 non nulle.
Cas −1 < L 0 < 1 . Il y a un nombre α ∈ ]0, π[ tel que cos α = −L 0 . Puisqu’on a
cosxcosα si −αxα, la fonction h(x) est définie sur I =[−α, α] et aussi sur les
intervalles qui s’en déduisent par translation de 2π. Sur I , h(x) varie comme cosx
et s’annule en α et en −α avec une tangente verticale (page 276). Pour avoir la partie C 0 de C située entre les abscisses −α et α, on complète le graphe de h en faisant
la symétrie par rapport à l’axe des abscisses, ce qui donne une courbe fermée (figure 2). La fonction cosinus étant paire, C 0 est aussi symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées. La courbe C est formée de C 0 et de toutes ses translatées de 2kπ.
v
x
x
π
π
L 0 + cos x
C 0
−α
−α α
α
figure 2
Pour décrire le mouvement, on peut supposer x 0 entre −π et π : le point initial
(x 0 , v 0 ) étant sur C 0 , M (t) parcourt le cycle C 0 indéfiniment. Le sens est celui
des x croissants quand M (t) se trouve dans le demi-plan v > 0, et celui des x
décroissants quand le point est dans le demi-plan v < 0. L’angle x et la vitesse
v sont périodiques : le mouvement consiste en des oscillations d’amplitude α
autour de la position d’équilibre basse.
Cas L 0 = 1 . Pour −π x π, on a h(x) =
2g//
√
1 + cos x = 2
g// cos(x/2),
car 1 + cos x = 2
cos(x/2)
2 et cos(x/2) 0.
Sur [−π, π], on a h
(x) = −
g// sin(x/2) : en π, h a une demi-tangente de pente
−
g//, et en −π, h a une demi-tangente de pente opposée
g//. On en déduit
le graphe de h et, par symétrie, la courbe C (figure 3).
La différence par rapport au cas précédent, c’est que les points d’équilibre A=(−π,0)
et B = (π, 0) sont sur C . Notons T
+ la partie de C située dans le demi-plan v > 0
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 463
v
x
C +
π
π
C −
−
− h(x)
h(x)
π
π
−
1
L 0 + cos x
1
figure 1
Si v 0 < 0, on obtient le mouvement en sens inverse : la trajectoire est la courbe
C − située dans le demi-plan v < 0, parcourue dans le sens x décroissant.
Ces mouvements ne peuvent exister qu’à un niveau d’énergie suffisant et avec une
vitesse initiale v 0 non nulle.
Cas −1 < L 0 < 1 . Il y a un nombre α ∈ ]0, π[ tel que cos α = −L 0 . Puisqu’on a
cosxcosα si −αxα, la fonction h(x) est définie sur I =[−α, α] et aussi sur les
intervalles qui s’en déduisent par translation de 2π. Sur I , h(x) varie comme cosx
et s’annule en α et en −α avec une tangente verticale (page 276). Pour avoir la partie C 0 de C située entre les abscisses −α et α, on complète le graphe de h en faisant
la symétrie par rapport à l’axe des abscisses, ce qui donne une courbe fermée (figure 2). La fonction cosinus étant paire, C 0 est aussi symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées. La courbe C est formée de C 0 et de toutes ses translatées de 2kπ.
v
x
x
π
π
L 0 + cos x
C 0
−α
−α α
α
figure 2
Pour décrire le mouvement, on peut supposer x 0 entre −π et π : le point initial
(x 0 , v 0 ) étant sur C 0 , M (t) parcourt le cycle C 0 indéfiniment. Le sens est celui
des x croissants quand M (t) se trouve dans le demi-plan v > 0, et celui des x
décroissants quand le point est dans le demi-plan v < 0. L’angle x et la vitesse
v sont périodiques : le mouvement consiste en des oscillations d’amplitude α
autour de la position d’équilibre basse.
Cas L 0 = 1 . Pour −π x π, on a h(x) =
2g//
√
1 + cos x = 2
g// cos(x/2),
car 1 + cos x = 2
cos(x/2)
2 et cos(x/2) 0.
Sur [−π, π], on a h
(x) = −
g// sin(x/2) : en π, h a une demi-tangente de pente
−
g//, et en −π, h a une demi-tangente de pente opposée
g//. On en déduit
le graphe de h et, par symétrie, la courbe C (figure 3).
La différence par rapport au cas précédent, c’est que les points d’équilibre A=(−π,0)
et B = (π, 0) sont sur C . Notons T
+ la partie de C située dans le demi-plan v > 0
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 463