reste constante au cours du mouvement : c’est précisément ce qu’exprime l’intégrale
première, sous la forme v
2
−2(g//) cos x = 2K 0 .
D’après l’intégrale première, la solution x(t) de conditions initiales x(0)=x 0 , ˙
x(0)=v 0
est déterminée par ˙
x
2 = 2(g//) cos x + 2K 0 , où K 0 =
v
2
0
2
−(g//) cos x 0 .
En posant L 0 = (/g)K 0 , cette équation différentielle s’écrit
(1)
x(0) = x 0 , ˙
x
2 = 2(g//)(L 0 + cos x)
Son domaine est formé des (t,x) tels que L 0 +cosx0. Si L 0 1, alors on a L 0 +cosx0
pour tout x et le domaine est l’ensemble de tous les couples (t,x). Si −1
Le plan des phases. Repérons le mouvement de la masse par sa position x et sa
vitesse angulaire ˙
x = v. Portons x en abscisse et v en ordonnée : on obtient le plan des
phases. À tout instant t, l’état du pendule correspond à un point M (t) =
x(t), v(t)
dans le plan des phases.
Le mouvement est donc représenté par une courbe paramétrée dans ce plan. Pour
un point initial M 0 = M (0) donné, l’ensemble des points M (t), t ∈ R, s’appelle la
trajectoire de M 0 .
M 0
x
v
Dans le demi-plan supérieur, on a ˙
x = v > 0, donc la trajectoire est parcourue dans
le sens x croissant ; dans le demi-plan inférieur, la trajectoire
est parcourue dans le sens x décroissant. D’après l’intégrale
première, le point M (t) est toujours sur la courbe C d’équation
v
2 = 2(g//)(L 0 + cos x)
Étude des trajectoires dans le plan des phases. On part du graphe de cosx ;
en translatant l’axe des x de la quantité −L 0 le long de l’axe des ordonnées, on
obtient le graphe de L 0 + cos x. Pour dessiner la courbe C , étudions la fonction
h(x) =
2g//
L 0 + cos x .
La courbe C n’est définie que pour les valeurs de x où l’on a L 0 +cosx 0. Procédons
comme page 275.
Cas L 0 > 1 . On a L 0 + cos x > 0 pour tout x, donc h est définie sur R, h(x) est
strictement positif et varie comme cos x. Puisque v(x) = ±h(x), C est la réunion
du graphe de h (courbe C + ) et du graphe de −h (courbe C − ), deux courbes sans
point commun (figure 1).
Supposons v 0 > 0. Le point initial M 0 = (x 0 ,v 0 ) est donc sur la courbe C + située
dans le demi-plan v > 0 et M (t) parcourt C + dans le sens x croissant. De plus,
˙
x(t) reste supérieur ou égal au nombre positif
(2g//)(L 0 −1), donc x(t) tend
vers +∞ quand t tend vers +∞ : la trajectoire est la courbe C + tout entière.
La vitesse est maximum pour x = 2kπ (passage du pendule en position basse)
et minimum pour x = (2k + 1)π. Pour le pendule, il s’agit d’un mouvement
tournoyant autour du point d’attache O.
462 – L’ ´
EQUATION DE NEWTON
première, sous la forme v
2
−2(g//) cos x = 2K 0 .
D’après l’intégrale première, la solution x(t) de conditions initiales x(0)=x 0 , ˙
x(0)=v 0
est déterminée par ˙
x
2 = 2(g//) cos x + 2K 0 , où K 0 =
v
2
0
2
−(g//) cos x 0 .
En posant L 0 = (/g)K 0 , cette équation différentielle s’écrit
(1)
x(0) = x 0 , ˙
x
2 = 2(g//)(L 0 + cos x)
Son domaine est formé des (t,x) tels que L 0 +cosx0. Si L 0 1, alors on a L 0 +cosx0
pour tout x et le domaine est l’ensemble de tous les couples (t,x). Si −1
Le plan des phases. Repérons le mouvement de la masse par sa position x et sa
vitesse angulaire ˙
x = v. Portons x en abscisse et v en ordonnée : on obtient le plan des
phases. À tout instant t, l’état du pendule correspond à un point M (t) =
x(t), v(t)
dans le plan des phases.
Le mouvement est donc représenté par une courbe paramétrée dans ce plan. Pour
un point initial M 0 = M (0) donné, l’ensemble des points M (t), t ∈ R, s’appelle la
trajectoire de M 0 .
M 0
x
v
Dans le demi-plan supérieur, on a ˙
x = v > 0, donc la trajectoire est parcourue dans
le sens x croissant ; dans le demi-plan inférieur, la trajectoire
est parcourue dans le sens x décroissant. D’après l’intégrale
première, le point M (t) est toujours sur la courbe C d’équation
v
2 = 2(g//)(L 0 + cos x)
Étude des trajectoires dans le plan des phases. On part du graphe de cosx ;
en translatant l’axe des x de la quantité −L 0 le long de l’axe des ordonnées, on
obtient le graphe de L 0 + cos x. Pour dessiner la courbe C , étudions la fonction
h(x) =
2g//
L 0 + cos x .
La courbe C n’est définie que pour les valeurs de x où l’on a L 0 +cosx 0. Procédons
comme page 275.
Cas L 0 > 1 . On a L 0 + cos x > 0 pour tout x, donc h est définie sur R, h(x) est
strictement positif et varie comme cos x. Puisque v(x) = ±h(x), C est la réunion
du graphe de h (courbe C + ) et du graphe de −h (courbe C − ), deux courbes sans
point commun (figure 1).
Supposons v 0 > 0. Le point initial M 0 = (x 0 ,v 0 ) est donc sur la courbe C + située
dans le demi-plan v > 0 et M (t) parcourt C + dans le sens x croissant. De plus,
˙
x(t) reste supérieur ou égal au nombre positif
(2g//)(L 0 −1), donc x(t) tend
vers +∞ quand t tend vers +∞ : la trajectoire est la courbe C + tout entière.
La vitesse est maximum pour x = 2kπ (passage du pendule en position basse)
et minimum pour x = (2k + 1)π. Pour le pendule, il s’agit d’un mouvement
tournoyant autour du point d’attache O.
462 – L’ ´
EQUATION DE NEWTON