Donnons-nous des conditions initiales x(t 0 ) = x 0 et x
(t 0 ) = v 0 . En intégrant de t 0
à t l’égalité précédente, il vient
(1)
1
2
v
2
− 1
2
v
2
0 = F (x) − F (x 0 )
L’égalité (1) s’appelle une intégrale première de l’équation, car elle ne fait plus
intervenir que la dérivée première v = x
.
Seconde étape. On résout l’intégrale première. L’égalité (1) s’écrit en effet x
2 =
2F (x) − 2F (x 0 ) + v
2
0 , ou encore
(2)
x
= ±
2F (x) − 2F (x 0 ) + v 2
0
C’est une équation différentielle autonome du premier ordre (page 447) dont il
faut calculer la solution de condition initiale x(t 0 ) = x 0 .
L'exemple du pendule
Faisons osciller une masse m suspendue en un point O par une tige non pesante de
longueur . On suppose que le mouvement se fait dans un plan vertical passant par O.
mg
O
x
sin x
z
cosx
Considérons un axe Oz dirigé vers le bas par un vecteur unitaire
→
u et
appelons x l’angle que fait la tige avec cet axe.
La masse est soumise à son poids mg
→
u dont le moment de rappel par
rapport à O est M = −mgg sin x. Le moment d’inertie de la masse par
rapport à O étant I = mm
2 , le mouvement est régi par l’équation M = I ¨
x.
Après simplification par mm, cette égalité s’écrit −g sin x = ¨ x, c’est-à-dire
(e)
¨
x = −(g//) sin x
C’est une équation de Newton, avec f (x) = −(g//) sin x. Remarquons qu’elle ne
dépend pas de la masse du pendule.
Les valeurs d’équilibre sont les a k = kπ, où k est un nombre entier quelconque. Il
y a deux positions d’équilibre : pour les valeurs 0, 2π, . . ., le pendule est en position verticale basse ; pour les valeurs π, 3π, . . ., il est en position verticale haute. Si
l’on place le pendule dans l’une de ces positions et qu’on l’abandonne sans vitesse
initiale, il reste en équilibre.
Supposons qu’on écarte le pendule d’un angle x 0 et qu’on le lâche avec une vitesse
angulaire initiale v 0 .
Calcul de l'intégrale première. En prenant cos x comme primitive de − sin x,
l’intégrale première est v
2
−v
2
0 = 2(g//) cos x−2(g//) cos x 0 , ou encore
v
2
−2(g//) cos x = v
2
0 −2(g//) cos x 0
À l’instant initial, la vitesse de la masse est v 0 , donc son énergie cinétique est
E c = 1
2
mm
2 v
2
0 . La hauteur de la masse par rapport au point O est − cos x 0 , donc la
différence d’énergie potentielle par rapport à ce point est E p = −mgg cos x 0 . L’énergie
totale est U = E c + E p = mm
2
1
2
v
2
0 −(g//) cos x 0
= mm
2 K 0 . Puisque le système n’est
soumis qu’à la pesanteur, la loi de conservation de l’énergie (page 425) affirme que U
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 461
(t 0 ) = v 0 . En intégrant de t 0
à t l’égalité précédente, il vient
(1)
1
2
v
2
− 1
2
v
2
0 = F (x) − F (x 0 )
L’égalité (1) s’appelle une intégrale première de l’équation, car elle ne fait plus
intervenir que la dérivée première v = x
.
Seconde étape. On résout l’intégrale première. L’égalité (1) s’écrit en effet x
2 =
2F (x) − 2F (x 0 ) + v
2
0 , ou encore
(2)
x
= ±
2F (x) − 2F (x 0 ) + v 2
0
C’est une équation différentielle autonome du premier ordre (page 447) dont il
faut calculer la solution de condition initiale x(t 0 ) = x 0 .
L'exemple du pendule
Faisons osciller une masse m suspendue en un point O par une tige non pesante de
longueur . On suppose que le mouvement se fait dans un plan vertical passant par O.
mg
O
x
sin x
z
cosx
Considérons un axe Oz dirigé vers le bas par un vecteur unitaire
→
u et
appelons x l’angle que fait la tige avec cet axe.
La masse est soumise à son poids mg
→
u dont le moment de rappel par
rapport à O est M = −mgg sin x. Le moment d’inertie de la masse par
rapport à O étant I = mm
2 , le mouvement est régi par l’équation M = I ¨
x.
Après simplification par mm, cette égalité s’écrit −g sin x = ¨ x, c’est-à-dire
(e)
¨
x = −(g//) sin x
C’est une équation de Newton, avec f (x) = −(g//) sin x. Remarquons qu’elle ne
dépend pas de la masse du pendule.
Les valeurs d’équilibre sont les a k = kπ, où k est un nombre entier quelconque. Il
y a deux positions d’équilibre : pour les valeurs 0, 2π, . . ., le pendule est en position verticale basse ; pour les valeurs π, 3π, . . ., il est en position verticale haute. Si
l’on place le pendule dans l’une de ces positions et qu’on l’abandonne sans vitesse
initiale, il reste en équilibre.
Supposons qu’on écarte le pendule d’un angle x 0 et qu’on le lâche avec une vitesse
angulaire initiale v 0 .
Calcul de l'intégrale première. En prenant cos x comme primitive de − sin x,
l’intégrale première est v
2
−v
2
0 = 2(g//) cos x−2(g//) cos x 0 , ou encore
v
2
−2(g//) cos x = v
2
0 −2(g//) cos x 0
À l’instant initial, la vitesse de la masse est v 0 , donc son énergie cinétique est
E c = 1
2
mm
2 v
2
0 . La hauteur de la masse par rapport au point O est − cos x 0 , donc la
différence d’énergie potentielle par rapport à ce point est E p = −mgg cos x 0 . L’énergie
totale est U = E c + E p = mm
2
1
2
v
2
0 −(g//) cos x 0
= mm
2 K 0 . Puisque le système n’est
soumis qu’à la pesanteur, la loi de conservation de l’énergie (page 425) affirme que U
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