Un résultat général
® Soit u(t) la solution de l’équation (e) x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t) telle que u(t 0 ) = x 0
et u
(t 0 ) = 0.
® Soit v(t) la solution de l’équation homogène (h) x
+ p(t)x
+ q(t)x = 0 telle que
v(t 0 ) = 0 et v
(t 0 ) = 1.
Si v(t 1 ) = 0, la fonction x(t) = u(t) +
x 1 −u(t 1 )
v(t 1 )
v(t) est solution de (e) et satisfait les
conditions aux bords x(t 0 ) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 .
Démonstration. La fonction u(t) est une solution de (e) et λv(t) est solution de (h) pour
toute constante λ, donc x(t) est solution de (e). De plus, on a x(t 0 ) = u(t 0 ) + 0 = x 0 et x(t 1 ) =
u(t 1 )+
x 1 −u(t 1 )
v(t 1 )
v(t 1 )=u(t 1 )+x 1 −u(t 1 )=x 1 , donc x(t) satisfait bien les conditions aux bords.
3. L'équation de Newton
En Mécanique, on considère souvent des mouvements dont l’accélération n’est fonction que de la position : c’est le cas, par exemple, pour une masse oscillant sans
amortissement au bout d’un ressort (page 454). Étudions l’équation différentielle
générale de ce type de mouvement.
Définition
Une équation de Newton est une équation différentielle de la forme x
= f (x), où
f est une fonction continue sur un intervalle.
Résolution
On commence par chercher s’il y a des équilibres, c’est-à-dire des solutions x(t)
constantes.
Si a est un nombre tel que f (a) = 0, alors la fonction constante x(t) = a est solution,
car x
(t) = x
(t) = 0 = f
x(t)
quel que soit t. Réciproquement, pour qu’une fonction
constante x(t) = a soit solution, il faut que l’on ait 0 = x
(t) = f
x(t)
= f (a).
Les valeurs d’équilibre sont les nombres a tels que f (a) = 0 :
la fonction constante de valeur a est solution.
Si a est une valeur d’équilibre, la solution de conditions initiales x(t 0 ) = a, x
(t 0 ) = 0
est la fonction constante de valeur a. Une fois trouvés les équilibres, on résout
l’équation dans un domaine ne contenant pas d’équilibre.
Première étape. En multipliant par x
, l’équation s’écrit x
x
= f (x)x
.
Posons v = x
et soit F une primitive de f .
On a 1
2
d
dt
(v
2 ) = vv
= x
x
et d
dt
F
x(t)
= f
x(t)
x
(t) = x
(t)x
(t), donc
1
2
d
dt
(v
2 ) = d
dt
F
x(t)
460 – L’ ´
EQUATION DE NEWTON
® Soit u(t) la solution de l’équation (e) x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t) telle que u(t 0 ) = x 0
et u
(t 0 ) = 0.
® Soit v(t) la solution de l’équation homogène (h) x
+ p(t)x
+ q(t)x = 0 telle que
v(t 0 ) = 0 et v
(t 0 ) = 1.
Si v(t 1 ) = 0, la fonction x(t) = u(t) +
x 1 −u(t 1 )
v(t 1 )
v(t) est solution de (e) et satisfait les
conditions aux bords x(t 0 ) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 .
Démonstration. La fonction u(t) est une solution de (e) et λv(t) est solution de (h) pour
toute constante λ, donc x(t) est solution de (e). De plus, on a x(t 0 ) = u(t 0 ) + 0 = x 0 et x(t 1 ) =
u(t 1 )+
x 1 −u(t 1 )
v(t 1 )
v(t 1 )=u(t 1 )+x 1 −u(t 1 )=x 1 , donc x(t) satisfait bien les conditions aux bords.
3. L'équation de Newton
En Mécanique, on considère souvent des mouvements dont l’accélération n’est fonction que de la position : c’est le cas, par exemple, pour une masse oscillant sans
amortissement au bout d’un ressort (page 454). Étudions l’équation différentielle
générale de ce type de mouvement.
Définition
Une équation de Newton est une équation différentielle de la forme x
= f (x), où
f est une fonction continue sur un intervalle.
Résolution
On commence par chercher s’il y a des équilibres, c’est-à-dire des solutions x(t)
constantes.
Si a est un nombre tel que f (a) = 0, alors la fonction constante x(t) = a est solution,
car x
(t) = x
(t) = 0 = f
x(t)
quel que soit t. Réciproquement, pour qu’une fonction
constante x(t) = a soit solution, il faut que l’on ait 0 = x
(t) = f
x(t)
= f (a).
Les valeurs d’équilibre sont les nombres a tels que f (a) = 0 :
la fonction constante de valeur a est solution.
Si a est une valeur d’équilibre, la solution de conditions initiales x(t 0 ) = a, x
(t 0 ) = 0
est la fonction constante de valeur a. Une fois trouvés les équilibres, on résout
l’équation dans un domaine ne contenant pas d’équilibre.
Première étape. En multipliant par x
, l’équation s’écrit x
x
= f (x)x
.
Posons v = x
et soit F une primitive de f .
On a 1
2
d
dt
(v
2 ) = vv
= x
x
et d
dt
F
x(t)
= f
x(t)
x
(t) = x
(t)x
(t), donc
1
2
d
dt
(v
2 ) = d
dt
F
x(t)
460 – L’ ´
EQUATION DE NEWTON