Mais dans de nombreux problèmes, on cherche plutôt une solution prenant des valeurs données x 0 et x 1 à des instants t 0 et t 1 donnés. Ces conditions s’écrivent
x(t 0 ) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 , avec t 0 = t 1 ; comme on impose les valeurs de la solution aux
extrémités de l’intervalle [t 0 , t 1 ], on dit que ce sont des conditions aux bords.
Nous allons voir que le problème n’a pas toujours de solution.
Exemple. L’équation différentielle x
+ ω
2 x = 0 (avec ω = 0) a pour solutions
x(t) = a cos ωt + b sin ωt. Les solutions telles que x(0) = x 0 sont les fonctions
x(t) = x 0 cos ωt + b sin ωt
Donnons-nous un instant t 1 = 0 et une valeur x 1 . La condition x(t 1 ) = x 1 s’écrit
x 0 cosωt 1 +bsinωt 1 =x 1 , ce qui permet de calculer b si ωt 1 n’est pas multiple entier de π.
Supposons t 1 = π/ω, donc x(t 1 ) = x 0 cos ωt 1 = −x 0 .
® Si x 1 = −x 0 , il n’y a aucune solution vérifiant les conditions x(0) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 .
® Si x 1 = −x 0 , il y a une infinité de solutions telle que x(0) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 : ce
sont toutes les fonctions x(t) = x 0 cos ωt + b sin ωt, où b est quelconque.
Pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants, on sait trouver toutes
les solutions : il est donc possible de chercher s’il y a une solution vérifiant des
conditions données aux bords, et de la calculer.
Cas d'une équation à coefficients variables
Abordons le problème des conditions aux bords pour une équation différentielle à
coefficients variables :
(c)
x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t) , x(t 0 ) = x 0 , x(t 1 ) = x 1
Tir au but. Considérons les solutions de l’équation différentielle qui prennent la
valeur x 0 en t 0 . On sait que chacune d’elles est déterminée par sa pente initiale
x
(t 0 ). En notant s k (t) la solution telle que s
k (t 0 ) = k, le problème est de trouver la
valeur de k pour que s k (t 1 ) = x 1 .
Pour résoudre numériquement le problème (c), on emploie d’habitude la technique
du « tir au but ».
® Par balayage, on cherche d’abord une pente initiale k pour laquelle s k (t 1 ) n’est
pas trop différent de x 1 .
® Si par exemple s k (t 1 ) < x 1 , on fait varier k par petits pas dans le sens qui fait
augmenter la valeur s k (t 1 ). Quand s k (t 1 ) a dépassé la valeur x 1 , on fait évoluer
k dans l’autre sens en employant un pas plus petit, et l’on itère ce processus
d’approximations successives.
s
t
t 1
t 0
x 0
x 1
tir trop bas
tir trop haut
Bien entendu, on doit disposer d’une méthode numérique
pour calculer la valeur en t 1 de la solution s k de conditions
initiales s k (t 0 ) = x 0 , s
k (t 0 ) = k (voir page 518).
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 459
x(t 0 ) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 , avec t 0 = t 1 ; comme on impose les valeurs de la solution aux
extrémités de l’intervalle [t 0 , t 1 ], on dit que ce sont des conditions aux bords.
Nous allons voir que le problème n’a pas toujours de solution.
Exemple. L’équation différentielle x
+ ω
2 x = 0 (avec ω = 0) a pour solutions
x(t) = a cos ωt + b sin ωt. Les solutions telles que x(0) = x 0 sont les fonctions
x(t) = x 0 cos ωt + b sin ωt
Donnons-nous un instant t 1 = 0 et une valeur x 1 . La condition x(t 1 ) = x 1 s’écrit
x 0 cosωt 1 +bsinωt 1 =x 1 , ce qui permet de calculer b si ωt 1 n’est pas multiple entier de π.
Supposons t 1 = π/ω, donc x(t 1 ) = x 0 cos ωt 1 = −x 0 .
® Si x 1 = −x 0 , il n’y a aucune solution vérifiant les conditions x(0) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 .
® Si x 1 = −x 0 , il y a une infinité de solutions telle que x(0) = x 0 , x(t 1 ) = x 1 : ce
sont toutes les fonctions x(t) = x 0 cos ωt + b sin ωt, où b est quelconque.
Pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants, on sait trouver toutes
les solutions : il est donc possible de chercher s’il y a une solution vérifiant des
conditions données aux bords, et de la calculer.
Cas d'une équation à coefficients variables
Abordons le problème des conditions aux bords pour une équation différentielle à
coefficients variables :
(c)
x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t) , x(t 0 ) = x 0 , x(t 1 ) = x 1
Tir au but. Considérons les solutions de l’équation différentielle qui prennent la
valeur x 0 en t 0 . On sait que chacune d’elles est déterminée par sa pente initiale
x
(t 0 ). En notant s k (t) la solution telle que s
k (t 0 ) = k, le problème est de trouver la
valeur de k pour que s k (t 1 ) = x 1 .
Pour résoudre numériquement le problème (c), on emploie d’habitude la technique
du « tir au but ».
® Par balayage, on cherche d’abord une pente initiale k pour laquelle s k (t 1 ) n’est
pas trop différent de x 1 .
® Si par exemple s k (t 1 ) < x 1 , on fait varier k par petits pas dans le sens qui fait
augmenter la valeur s k (t 1 ). Quand s k (t 1 ) a dépassé la valeur x 1 , on fait évoluer
k dans l’autre sens en employant un pas plus petit, et l’on itère ce processus
d’approximations successives.
s
t
t 1
t 0
x 0
x 1
tir trop bas
tir trop haut
Bien entendu, on doit disposer d’une méthode numérique
pour calculer la valeur en t 1 de la solution s k de conditions
initiales s k (t 0 ) = x 0 , s
k (t 0 ) = k (voir page 518).
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 459