Derrière la barrière de potentiel, il n’y a pas de particule progressant dans le sens
des abscisses décroissantes, donc a
2 = 0 : il n’y a qu’une seule onde transmise. Les
conditions de raccordement ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0) et ϕ
1 (0) = ϕ
2 (0) s’écrivent a 1 + a
1 = a 2 et
k 1 (a 1 −a
1 ) = k 2 a 2 . Puisque la solution n’est déterminée qu’à un facteur multiplicatif
près, introduisons les rapports r = a
1 /a 1 et λ = a 2 /a 1 . Il vient
λ − r
= 1
k 2 λ + k 1 r = k 1
d’où r =
k 1 −k 2
k 1 +k 2
et λ = 1 + r =
2k 1
k 1 +k 2
.
Il existe donc des solutions a 2 e
i k 2 x définies pour x > 0, autrement dit l’onde
incidente peut franchir la marche de potentiel.
Dans la fonction ϕ 1 , la partie a 1 e
i k 1 x correspond à une onde progressant dans
le sens x croissant avec une probabilité de présence uniforme proportionnelle à
|a 1 e
i k 1 x
|
2 = a
2
1 ; la partie a
1 e
− i k 1 x correspond à une onde dans sens opposé, de probabilité de présence a
1
2 : le taux de réflexion est R=
a
1
a 1
2
. Le taux de transmission est
évidemment T = 1 − R, car il est certain que la particule est transmise ou réfléchie.
On a R = r
2 =
(k 1 −k 2 )
2
(k 1 + k 2 )
2
= 1 −
4k 1 k 2
(k 1 + k 2 )
2
et donc T =
4k 1 k 2
(k 1 + k 2 )
2
.
Puisque les rapports r = a
1 /a 1 et λ = a 2 /a 1 sont réels, la réflexion et la transmission
se font sans déphasage. Si E est très grand par rapport à V 0 , alors k 1 et k 2 sont
proches, T est voisin de 1 et la particule est presque sûrement transmise.
Cas E < V 0 : réflexion totale. En Mécanique classique, la particule ne peut pas
franchir la marche de potentiel : elle est réfléchie. Voyons ce qu’il en est dans le
cadre quantique.
On pose cette fois ρ 2 =
2m(V 0 −E)/ et l’on a ϕ 2 (x) = b 2 e
ρ 2 x + b
2 e
−ρ 2 x , pour
x > 0. La solution doit rester bornée quand x tend vers +∞, donc b 2 = 0. Les
conditions de raccordement s’écrivent
a
1
a 1
=
k 1 − i ρ 2
k 1 + i ρ 2
et
b
2
a 1
=
2k 1
k 1 + i ρ 2
et le taux de réflexion est R=
a
1
a 1
2
=
k 1 − i ρ 2
k 1 + i ρ 2
=1. Comme en Mécanique classique,
l’onde est donc réfléchie et puisque le terme a
1 /a 1 n’est pas réel, l’onde réfléchie
est déphasée par rapport à l’onde incidente. Cependant, la solution réelle b
2 e
−ρ 2 x
définie pour x > 0, montre que la particule a une probabilité non nulle d’exister au
delà de la marche de potentiel, contrairement au cas classique. L’onde transmise
est qualifiée d’évanescente, car b
2 e
−ρ 2 x tend vers 0 quand x tend vers +∞.
2.3 Conditions aux bords
Pour déterminer une solution d’une équation différentielle du second ordre, nous
avons jusqu’à présent utilisé des conditions initiales x(t 0 ) = x 0 , x
(t 0 ) = v 0 portant sur
la valeur de la solution et de sa dérivée à un instant t 0 donné (théorème page 450).
458 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES LIN ´
EAIRES D’ORDRE 2
des abscisses décroissantes, donc a
2 = 0 : il n’y a qu’une seule onde transmise. Les
conditions de raccordement ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0) et ϕ
1 (0) = ϕ
2 (0) s’écrivent a 1 + a
1 = a 2 et
k 1 (a 1 −a
1 ) = k 2 a 2 . Puisque la solution n’est déterminée qu’à un facteur multiplicatif
près, introduisons les rapports r = a
1 /a 1 et λ = a 2 /a 1 . Il vient
λ − r
= 1
k 2 λ + k 1 r = k 1
d’où r =
k 1 −k 2
k 1 +k 2
et λ = 1 + r =
2k 1
k 1 +k 2
.
Il existe donc des solutions a 2 e
i k 2 x définies pour x > 0, autrement dit l’onde
incidente peut franchir la marche de potentiel.
Dans la fonction ϕ 1 , la partie a 1 e
i k 1 x correspond à une onde progressant dans
le sens x croissant avec une probabilité de présence uniforme proportionnelle à
|a 1 e
i k 1 x
|
2 = a
2
1 ; la partie a
1 e
− i k 1 x correspond à une onde dans sens opposé, de probabilité de présence a
1
2 : le taux de réflexion est R=
a
1
a 1
2
. Le taux de transmission est
évidemment T = 1 − R, car il est certain que la particule est transmise ou réfléchie.
On a R = r
2 =
(k 1 −k 2 )
2
(k 1 + k 2 )
2
= 1 −
4k 1 k 2
(k 1 + k 2 )
2
et donc T =
4k 1 k 2
(k 1 + k 2 )
2
.
Puisque les rapports r = a
1 /a 1 et λ = a 2 /a 1 sont réels, la réflexion et la transmission
se font sans déphasage. Si E est très grand par rapport à V 0 , alors k 1 et k 2 sont
proches, T est voisin de 1 et la particule est presque sûrement transmise.
Cas E < V 0 : réflexion totale. En Mécanique classique, la particule ne peut pas
franchir la marche de potentiel : elle est réfléchie. Voyons ce qu’il en est dans le
cadre quantique.
On pose cette fois ρ 2 =
2m(V 0 −E)/ et l’on a ϕ 2 (x) = b 2 e
ρ 2 x + b
2 e
−ρ 2 x , pour
x > 0. La solution doit rester bornée quand x tend vers +∞, donc b 2 = 0. Les
conditions de raccordement s’écrivent
a
1
a 1
=
k 1 − i ρ 2
k 1 + i ρ 2
et
b
2
a 1
=
2k 1
k 1 + i ρ 2
et le taux de réflexion est R=
a
1
a 1
2
=
k 1 − i ρ 2
k 1 + i ρ 2
=1. Comme en Mécanique classique,
l’onde est donc réfléchie et puisque le terme a
1 /a 1 n’est pas réel, l’onde réfléchie
est déphasée par rapport à l’onde incidente. Cependant, la solution réelle b
2 e
−ρ 2 x
définie pour x > 0, montre que la particule a une probabilité non nulle d’exister au
delà de la marche de potentiel, contrairement au cas classique. L’onde transmise
est qualifiée d’évanescente, car b
2 e
−ρ 2 x tend vers 0 quand x tend vers +∞.
2.3 Conditions aux bords
Pour déterminer une solution d’une équation différentielle du second ordre, nous
avons jusqu’à présent utilisé des conditions initiales x(t 0 ) = x 0 , x
(t 0 ) = v 0 portant sur
la valeur de la solution et de sa dérivée à un instant t 0 donné (théorème page 450).
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EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES LIN ´
EAIRES D’ORDRE 2